考研數學 - 話題

數一暑期復習不得不掌握的知識點：曲線積分(二)

(3) 利用曲線積分與路徑無關
設http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF475.tmp.png是區域,http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF486.tmp.png具有一階連續偏導數,如果對于http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF487.tmp.png內任意指定的兩個點http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF497.tmp.png以及http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF498.tmp.png內從點http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4A9.tmp.png到點http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4B9.tmp.png的任意兩條曲線http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4BA.tmp.png,恒有

http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4CB.tmp.png

則稱曲線積分http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4DC.tmp.png在http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4DD.tmp.png內與路徑無關.
注：幾個等價條件
設區域http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4ED.tmp.png是一個單連通區域,函數http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4FE.tmp.png具有一階連續偏導數,則下列幾個條件等價
1)曲線積分http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF50E.tmp.png與路徑無關;
2)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF51F.tmp.png,其中http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF520.tmp.png是http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF531.tmp.png內任意封閉曲線;
3)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF541.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF542.tmp.png是某二元函數http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF553.tmp.png的全微分,即存在http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF563.tmp.png使得

http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF564.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF575.tmp.png;

4)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF576.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF587.tmp.png是某二元函數http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF588.tmp.png的梯度;
5)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF598.tmp.png.
積分與路徑無關主要考查五個等價條件，其中1)-4)一般作為已知條件出現，命題者希望考生能夠推出條件5)，這種題目一般結論是求函數表達式，所以中間要用到條件5)建立微分方程，進而求出函數表達式.
【例3】設http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF599.tmp.png有二階連續導數,http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5AA.tmp.png,且
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5BA.tmp.png
其中http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5CB.tmp.png是右半平面http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5CC.tmp.png內任一分段光滑簡單閉曲線,求http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5DD.tmp.png
【分析】已知條件是積分與路徑無關的等價條件之一，利用條件5轉化成微分方程.
【解析】  由題設條件知，在http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5DE.tmp.png處
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5EE.tmp.png，
即     http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5EF.tmp.png.
令http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF600.tmp.png，則http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF601.tmp.png.
這是關于http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF611.tmp.png的一階線性方程，由通解公式知
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF612.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF623.tmp.png.
由http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF624.tmp.png知，http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF635.tmp.png. 于是
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF636.tmp.png.
由http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF646.tmp.png知，http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF657.tmp.png，則http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF658.tmp.png.

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