考研數(shù)學 - 話題

    2011年考研高等數(shù)學典型題型解析
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     一. 函數(shù)、極限與連續(xù)

      求分段函數(shù)的復合函數(shù);求極限或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)的連續(xù)性,判斷間斷點的類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù),或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。

      二。一元函數(shù)微分學

      求給定函數(shù)的導數(shù)與微分(包括高階導數(shù)),隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導,特別是分段函數(shù)和帶有絕對值的函數(shù)可導性的討論;利用洛比達法則求不定式極限;討論函數(shù)極值,方程的根,證明函數(shù)不等式;利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關命題,如“證明在開區(qū)間內至少存在一點滿足....。。”,此類問題證明經(jīng)常需要構造輔助函數(shù);幾何、物理、經(jīng)濟等方面的最大值、最小值應用問題,解這類問題,主要是確定目標函數(shù)和約束條件,判定所討論區(qū)間;利用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形,求曲線漸近線。

      三。一元函數(shù)積分學

      計算題:計算不定積分、定積分及廣義積分;關于變上限積分的題:如求導、求極限等;有關積分中值定理和積分性質的證明題;定積分應用題:計算面積,旋轉體體積,平面曲線弧長,旋轉面面積,壓力,引力,變力作功等;綜合性試題。

      四。向量代數(shù)和空間解析幾何

      計算題:求向量的數(shù)量積,向量積及混合積;求直線方程,平面方程;判定平面與直線間平行、垂直的關系,求夾角;建立旋轉面的方程;與多元函數(shù)微分學在幾何上的應用或與線性代數(shù)相關聯(lián)的題目。

      五。多元函數(shù)的微分學

      判定一個二元函數(shù)在一點是否連續(xù),偏導數(shù)是否存在、是否可微,偏導數(shù)是否連續(xù);求多元函數(shù)(特別是含有抽象函數(shù))的一階、二階偏導數(shù),求隱函數(shù)的一階、二階偏導數(shù);求二元、三元函數(shù)的方向導數(shù)和梯度;求曲面的切平面和法線,求空間曲線的切線與法平面,該類型題是多元函數(shù)的微分學與前面向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題,應結合起來復習;多元函數(shù)的極值或條件極值在幾何、物理與經(jīng)濟上的應用題;求一個二元連續(xù)函數(shù)在一個有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。這部分應用題多要用到其他領域的知識,考生在復習時要引起注意。

      六。多元函數(shù)的積分學

      二重、三重積分在各種坐標下的計算,累次積分交換次序;第一型曲線積分、曲面積分計算;第二型(對坐標)曲線積分的計算,格林公式,斯托克斯公式及其應用;第二型(對坐標)曲面積分的計算,高斯公式及其應用;梯度、散度、旋度的綜合計算;重積分,線面積分應用;求面積,體積,重量,重心,引力,變力作功等。數(shù)學一考生對這部分內容和題型要引起足夠的重視。

      七。無窮級數(shù)

      判定數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂、條件收斂;求冪級數(shù)的收斂半徑,收斂域;求冪級數(shù)的和函數(shù)或求數(shù)項級數(shù)的和;將函數(shù)展開為冪級數(shù)(包括寫出收斂域);將函數(shù)展開為傅立葉級數(shù),或已給出傅立葉級數(shù),要確定其在某點的和(通常要用狄里克雷定理);綜合證明題。

      八。微分方程

      求典型類型的一階微分方程的通解或特解:這類問題首先是判別方程類型,當然,有些方程不直接屬于我們學過的類型,此時常用的方法是將x與y對調或作適當?shù)淖兞看鷵Q,把原方程化為我們學過的類型;求解可降階方程;求線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;根據(jù)實際問題或給定的條件建立微分方程并求解;綜合題,常見的是以下內容的綜合:變上限定積分,變積分域的重積分,線積分與路徑無關,全微分的充要條件,偏導數(shù)等。

      總之,對考生來說,要想在數(shù)學考試中取得好成績,必須認真系統(tǒng)地按照各類考試大綱的要求全面復習,掌握數(shù)學的基本概念、基本方法和基本定理。平時注意抓題型的解決方法和技巧,不斷總結。最后按規(guī)定時間做幾份模擬題,了解一下究竟掌握到什么程度,同時知道薄弱環(huán)節(jié),抓緊時間補上。如果考生能夠通過做題,將遇到的各種題進行延伸或變式,做到融會貫通,一定會取得好的成績。

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