考研數學 - 話題

關于數學，特別是線性代數的復習備考，這里提出“早”、“綱”、“基”、“活”的四字方略，供理工類、經濟類考生參考。

　　一、“早”。提倡一個“早”字，是提醒考生考研數學備考要早計劃、早安排、早動手。因為數學是一門思維嚴謹、邏輯性強、相對比較抽象的學科。和一些記憶性較多的學科不同，數學需要理解的概念多，方法又靈活多變，而理解概念，特別是理解比較抽象的概念是一個漸近的過程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側面的深入研究，總之它需要時間，任何搞突擊，搞速成的思想不可取，這對大多數考生而言，不可能取得成功；另一方面，早計劃、早安排、早動手是采取“笨鳥先飛”之策，這是考研的激烈競爭現實所要求的，早一天準備，多一分成績，多一份把握，現在不少大一、大二的在校生已經在準備2～3年后的考研，這似乎是早了點，但作為一個目標、作為一個追求，無可非議。作為2001年的考生，從現在開始備考，恐怕已經不算太早了。

　　二、“綱”。突出一個綱字，就是要認真研究考試大綱，要根據考試大綱規定的考試內容、考試要求、考試樣題有計劃地、認真地、全面地、系統地復習備考，加強備考的針對性。

　　由于全國基礎數學教材（高等數學，線性代數，概率論和數理統計）并不統一，各學校、各專業對這些課程要求的層次也各不相同，因此教育部并沒有指定統一的教材或參考書作為命題的依據，而是以教育部制定的《全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱》（下稱《大綱》）作為考試的法規性文件，命題以《大綱》為依據，考生備考復習當然也應以《大綱》為依據。

　　為了讓廣大考生對“考什么”有一定的了解（不是盲目的備考），教育部考試中心命制的試題，每年都具有穩定性、連續性的特點。《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解“考什么”。歷屆試題中，從來沒有出過偏題、怪題，也沒有出過超過大綱范圍的超綱題。當然，一份好的試題，首先要有好的區分度，使高水平考生考出好成績，因此試題中難、易試題要有恰當的搭配；試題的總量必須有一定的限制，同時試題還要有盡可能大的覆蓋面，因此一味地去做難題，甚至怪題、偏題是不可取的，“題海戰術”不能替代全面、系統的復習，由于試題有極大的覆蓋面，每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節，因此偏廢某部分內容也是不恰當的。任何“猜題”及僥幸心理都會導致失敗。只有根據大綱，全面、系統地復習，不留遺漏，才不會留下遺憾。

　　請廣大考生留意，今年《大綱》有一定的變化：所有的近似計算取消了，特別是數學試卷二，“線性代數初步”中取消了“初步”兩字，增考了“特征值、特征向量”一章的內容。

　　三、“基”。強調一個“基”字，是指要強調數學學習中的三基，即要重視基本概念的理解，基本方法的掌握，基本運算的熟練。

　　基本概念理解不透徹，對解題會帶來思維上的困難和混亂。因此對概念必須搞清它的內涵，還要研究它的外延，要理解正面的含義，還要思考、理解概念的側面、反面。例如關于矩陣的秩，教材中的定義是：A是陰Xn矩陣，若A中有一個r階子式不為零，所有r階以上子式（如果它還有的話）均為零，則稱A的秩為r，記成rank（A）：r（或r（A）＝r，秩A＝r）。顯然，定義中內涵的要點有：1.A中至少有一個r階子式不為零；2.所有r階以上均為零。3.若所有r+1子式都為零，則必有所有r階以上子式均為零。要點2和3是等價條件，至于r階子式是否可以為零？小于r階的子式是否可以為零？所有r-1階的子式是否可以全部為零？這些都是秩的概念的外延內容，如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會迎刃而解。

　　例1設A是m×n矩陣，r（A）＝r＜min（m，n），則A中

　　（A）至少有一個r階子式不為零，沒有等于零的r-1階子式。

　　（B）有不等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式。

　　（C）有等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式。

　　（D）任何r階子式不等于零，任何r+1階子式都等于零。

　　答案：（B）

　　基本方法要熟練掌握。熟練掌握不等于死記硬背，相反要抓問題的實質，要在理解的基礎上適當記憶。把需要記憶的東西縮小到最低限度，很多方法可以通過練習來記住，例如一個實對稱矩陣，一定存在正交矩陣，通過正交變換化為對角陣，其步驟較多，但通過練習，不難解決。

　　基本計算要熟練。學習數學，離不開計算，計算要熟練，當然要做一定數量的習題，通過一定數量的習題，把計算的基本功練扎實。在練習過程中，自覺的提高運算能力，提高運算的準確性，養成良好的運算習慣和科學作風。特別對線性代數而言，運算并不復雜，大量的運算是大家早已熟練了的加法和乘法，從而養成良好的運算習慣和科學作風顯得尤為重要。例如線性代數的前四章中（行列式、矩陣、向量、方程組）絕大多數的運算是初等變換。用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組（或矩陣）的秩、求向量組的極大線性無關組、求方程組的解等。可以想象，一旦初等變換過程中出現某個數值計算錯誤，那你的答案將是什么樣的結果？從歷屆數學試題來看，每年需要通過計算得分的內容均在70%左右，可見計算能力培養的重要。只聽（聽各種輔導班）不練，只看（看各類輔導資料）不練，眼高手低，專找難題做，這并不適合一般考生的情況，在歷屆考生中，不乏有教訓慘痛的人。

　　四、“活”。線性代數中概念多、定理多、符號多、運算規律多，內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系是線性代數課程的特點，故考生應通過全面系統的復習，充分理解概念，掌握定理的條件、結論及應用，熟悉符號的意義，掌握各種運算規律、計算方法，并及時進行總結，抓聯系，抓規律，使零散的知識點串起來、連起來，使所學知識融會貫通，實現一個“活”字。

　　線性代數各章節的內容，不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯系的。如A是n階方陣，若，｜A｜≠0（稱A為非奇陣）。<=>A是可逆陣。<=>有n階方陣B，使得AB=BA=E.<=>B=A-1＝A*／｜A｜。<=>r（A）=n（稱A是滿秩陣）。<=>存在若干個初等陣P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E.<=>（A┆E）→（E┆A-1）。<=>A可表示成若干個可逆陣的乘積。<=>A可表示成若干個初等陣的積。<=>A的列向量組線性無關（列滿秩）。<=>AX=0，唯一零解。<=>A的行向量組線性無關（行滿秩）。<=>A的列（行）向量組是Rn空間的基。<=>任何n維列向量b均可由A的列向量線性表出（且表出法唯一）。<=>對任意的列向量b，方程組AX＝b有唯一解，且唯一解為A-1b<=>A沒有零特征值，即λi≠O，i＝1，2，…，n.<=A是正定陣（正交陣，…）。

　　這種知識間的相互聯系、滲透，給綜合命題創造了條件，同樣一個試題，可以從不同的角度有多種命制試題的方法。

　　例2 （2001年數學一第九題）設α1，α2，…，αs，是線性方程組AX＝0的基礎解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是AX=0的基礎解系。

　　解析本題的答題要點是：（1）對任意t1，t2，βi，i＝1，2，…，s仍是AX＝0的解；（2）對任意t1，t2，β1，β2，…，βs向量個數是s；（3）β1，β2，…，βs，線性無關<=>t1s+（一1）n+1t2s≠0.

　　滿足（1）、（2）、（3）時，即，t1s+（一1）n+1t2s一1）“≠0時，β1，β2，…，βs仍是AX＝0的基礎解系。

　　變式（1） （改變成線性相關性試題）

　　已知向量組α1，α2，…，αs線性無關，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+ t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs線性無關。

　　變式（2） （改變成向量組的秩的試題）

　　已知向量組α1，α2，…，αs的秩為s.β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+ t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，r（β1，β2，…，βs）＝s.

　　變式（3） （改變成等價向量組的試題）

　　已知α1，α2，…，αs線性無關，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs和α1，α2，…，αs是等價向量組。

　　變式（4） （改變成子空間的基的試題）

　　設y是Rn的子空間，α1，α2，…，αs是V的基，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是子空間V的基。

　　難道你不認為以上的各種變式基本上是一樣的嗎？它們的答題要點是什么呢？

　　改變試題難度，將向量個數s具體化，則成2001年數學試卷二第十二題。

　　變式（5）已知α1，α2，α3，α4，是線性方程組AX=0的基礎解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，β3＝t1α3+t2α4，β4＝t1α4+t2α3，，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，β3，β4，也是AX＝0的基礎解系。

　　改變參數，你不是可以“隨心所欲”嗎？

　　變式（6）已知α1，α2，…，αs是AX＝0的基礎解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問α1，α2，…，αs，滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是AX＝0的基礎解系。

　　如果你體會不到以上各種變式實質上是一樣的，那么你沒有學“活”線性代數，你的知識點還是孤立的。

　　由于知識間的緊密聯系和滲透，而綜合考試試題不再依附于某章、某節（依附于某章、某節后面的習題，實際上是給解題人提供了用該章、該節的內容和方法解題的提示），這會給考生解題帶來困難。學“活”并非易事，需要經常總結，廣開思路。

　　例3已知A是n階正定陣，B是n階反對稱陣，證明A-B2是正定陣。

　　解析本題題目本身有提示性，已知的是正定陣，要證的也是正定陣，顯然屬于二次型中有關正定性的試題，具體解答如下。

　　B是反對稱陣，故BT＝-B.

　　任給X≠0，因A正定，故XTAX>O，又XT（一B2）X＝XTBTBX＝（BX）TBX≥0.

　　故有XT（A-B2）X＝XT（A+（-B）B）X＝XT（A+BTB）X＝XTAX+（BX）TBX>O.

　　所以A-B2是正定陣。

　　變式（1）已知A是n階正定陣，B是n階反對稱陣。證明A-B2是可逆陣。v這個變式要求證明A-B2可逆，但已知A正定。為了利用已知條件，還可以想到A-B2是否正定，即若證明了A-B2正定，自然也就證明了A-B2可逆。

　　變式（2）已知B是n階反對稱陣，E是n階單位陣，證明E-B2可逆。

　　這個變式中，隱去了A是正定陣的條件，而是給了一個具體的正定陣E，要求想到用證正定的角度來證E-B2可逆，難度就相當大了，這需要經驗的積累和總結。

　　由于知識間的廣泛聯系和相互滲透，給不少題的一題多解創造了條件。你可以從各個不同的角度去研究試題，找到一個合適的切入點，從而最終找到問題的答案。

北京是中國的首都嗎？

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