考研數學 - 話題

第二輪數學應該如何復習

　　主持人：各位網友大家好，今天聚焦考研聯合搜狐教育頻道，有幸請來了陳文燈校長，中央財經大學數學系主任，北京數學學會理事，著名的考驗數學輔導專家陳文燈教授，為廣大的網友指導在北京考驗第二階段的數學復習。陳校長，首先我代表所有的網友感謝和歡迎您的到來。

　　現在應該說是進入了第二個復習階段，學習應該對基本知識點的總結，第一遍已經過完了，現在過第二遍。有些很普遍的考生，他們提出來的問題，就是他們自己的戰線拉得特別長，復習的是想一步一個腳印的復習但又發現非常慢，這個問題怎么辦呢？

　　陳文燈：還是一步一個腳印好，復習到現在也做了點題，我覺得在這個時候最好三五個、七八個同學組成一個互助組，這個互助組可以一起談一下個人的體會。尤其是有些提醒的解題方法和技巧。

　　還有再換一換各種各樣的輔導書，對書中那些看似簡單，但自己卻沒有思路，一看人家解答豁然開朗，這樣的題就是好題。如果把這樣的題做熟了，說不定拿到試卷的時候就可以看到非常熟悉的面孔。這就是我要講的第一點。同學們在第二遍復習的時候應該注意的。

　　還有一個，就是應該很好地看看過去的研究性試卷，做做上面的題，說實在的比較重要的題型過去都出了，怎么樣才能抓住專家們的命題思想和提示，你就看過去特別愛出的題型。

　　過去18年，有的題型18年大大小小的考題出過12道，這樣的題應該就算是比較重要的題型了，把這樣的題型吃透，這是很重要的。最近幾年，基本沒有什么新的題型出現，數學也沒有什么新的題型，我數了一下，數學一是考的范圍最廣的，內容最多，一共才197個題型。

　　題你是做不完的，100多個題型你把它掌握住，我覺得還是可以的。但是話又說回來，光做完題型，平時如果有些東西不做的話，到時候光知道怎么做，一做就錯，這也不行，所以這一點要注意。

　　如何提高自己的解題能力

　　網友：在中期哪些方法最有效，我已經在做您數學的復習指南，已經做了一遍，現在做第二遍了，我看那些答案和解釋也比較明白，但如果遇到一些新的題型或者遇到新的問題，還是在解答的時候沒有思路，這樣子我應該怎么復習和訓練？然后能夠獨立的解題。

　　陳文燈：我覺得歸根到底沒有把這些重要的題型形成一種思維定式，這個思維定式是很重要的，你看到什么樣的題，你就能夠想起什么樣的定式。再一個就是平時練的不夠，并看一直在做，但是還不夠，還沒有真正的把我們書中的東西變成他自己的東西。

　　實際上最近幾年來，很多研究性考題是我們書中的例題照過來的，像今年數學二有這么一個題。x在大于0小于2，fx＝x平方－4.當x在負無窮到正無窮期間內的時候，fx＝k乘以x＋1，現在在x等于零，fx的表達式，第二問k為何值的時候fx在x0處可等。這個題就是我們復習指南中的例二改造過來的。好多題我就不再說了。所以把我們書中的例題真正吃透，對于考研朋友來理解我們所歸納的方法和技巧是很有好處的。

　　網友：我數學復習的時間比較長了，一直也非常努力的去記憶，但是復習到后面就發現前面的東西記不清了，做到后面就發現前面的公式用不熟了，現在請陳老師幫我解決這個問題。

　　陳文燈：這一兩句話確實解決不了他的問題，他如果有機會的話，聽聽我講課倒是可以解決問題，因為我給同學們講，我說現在的研究生考試跟前幾年，98年、99年不太一樣。那幾年確實也一些題比較難一點，現在的研究生考題不能說難，但是現在考的是什么？考的是解題的熟練程度，這一點一定要解決，要想達到很熟練的程度，那就得通過多做點題，我覺得數學和其他的課程不一樣，應該做到天天看、天天練，長流水不斷。應該在做題的過程中多做歸納總結，形成自己的思維定式。

　　你比方說我歸納總結了高數中的四個思維定式，這個也沒有出錯，比方說第一句話如果正命題中給出的是既有二階和二階以上可導，不管三七二十一，先把函數在指定點出展開公式再說，你看所有的命題沒有一個題是這樣做的。這是我98年在武漢的時候解決的，98年以后多少題不是這樣做。第二個思維定式，在正面的命題中給出了定積分的表達式，不管三七二十一先用積分中值定理處理一下；第三句話，假設函數在（a、b》b期間上聯系，某一個端點的函數值為零，或者是在（a、b）的某一點函數值為零。不管三七二十一，先用拉格朗日定義處理。再一個不論是定限或者變限積分，被積函數或者被積函數的主要部分，是負函數的顯示。不管三七二十一先做變量替換，使這個負函數變成簡單的形式再做。

　　第四個思維定式現在應該修訂了，怎么修訂呢？就是你所遇到的函數是負函數，不敢三七二十一先做變量替換，使這個負函數變成簡單的形式再說。所以你拿到題以后，馬上我知道怎么做了。是很簡單很簡單的事情。

　　所以數學歸根到底是還要自己去歸納總結的。如果你把這些規律性的東西抓住了，考試的時候馬上就能夠找到解題的突破口，否則的話，你不會的還是不會。你考試如果不能變通，要想你平時做什么題，考試考什么題，這個可能性非常非常小。所以學數學一定要學活了，不能像政治課、像其他課一樣，考試去硬背就行，那是不行的。

　　試題與復習資料的應用

　　主持人：我發現數學學通了，考試還真不難，但如果學不通的話，考一兩年就是考不上去。

　　陳文燈：對，以前有一個科技大學叫張亮的，他2003年數學考了40，然后今天數學考了150分，在網上給我們貼出來。所以我們說，根本沒有必要要補考，你一定要記住極大似然估計，還有統計量的三個標準。統計量三個標準一個是有效性，無偏性，這兩個是比較重要的。還有一個總體的假設檢驗，所以這些東西同學們要學會抓重點，這些就是重點。

　　網友：上考研班的時候，曾經聽幾位老師說過，說98年的題目很簡單，沒必要去做了，那是不是90年的題簡單，我們就不用做了。

　　陳文燈：不是，這個老師根本就沒有實事求是，因為98年以前的題，像94年并不是那么簡單的，所以這種說法不對的。

　　網友：在最后的一百天里面，我們應該花多少時間在數學的復習上，我們還應該看技術題好，還是針對考驗的題型去做專項題好，我一周做兩套模擬題夠不夠。

　　陳文燈：這個說得本身就不是太合適，我總覺得剛才前面已經說過了，數學要經�？矗�經常練。看，你什么東西都看，對那些經常打交道，就已經熟的不能再熟了，你花那么長時間干什么，沒有價值。應該對那些比較新書的，比較少見的，這些題多下工夫。

　　主持人：現在有的考生說我有一大堆的復習書，或者復習指南之內的，還有沒有看課本嗎？

　　陳文燈：沒有必要看課本，你課本看得再熟也解決不了你數學的考試問題，現在是這樣的，因為我們研究生考試不是水平考試，而是水平加上選拔考試。所以有大學的水平遠遠不夠，還應該有隨機應變。

　　比如比較靈活的解題方法和技巧。數學書并不是說完全不看，不是這樣的，像《概率論數理統計》，我推薦浙江大學信驟、謝式千、潘承毅，三位老師編的。這本書希望同學務必好好看，尤其是書中的一些例題和習題，因為過去18年有好多考題是從書中的例題和習題中改造過來的。

　　主持人：按照正常的復習步驟，學生們現在已經結束了第一遍概念的知識信用復習，現在應該進入到作題階段了，應該是大量地去做題，還是反復做。怎么做比較好？

　　陳文燈：這有規定，應該有的同學比較適應一邊做題，一邊加深對有些概念的理解。有些公式的記憶，有些定義的記憶。所以這個不能一概而論。而有些就覺得我現在概念性的東西，像公式基礎，我已經掌得很牢靠了，記得很牢了，我現在做題的方面還欠缺一點，這些東西可以把經歷和時間忙在多做點題上。

　　主持人：您主編了一系列的輔導書，現在看我們的網友，考生們最多用到的是《數學復習指南》，然后后面有一本《數學題型集粹與練習題集》有一部分考生現在在第二遍復習的時候又配套做這個了，現在您又出了《重點題型80》、《模擬試卷八套》好多考生問，這些書我應該在哪個時間段做哪本比較好，怎么安排做題的進步。

　　陳文燈：我這個《復習指南》是根本，復習指南中的例題一定要搞得非常熟，看完了《數學復習指南》，翻一翻《數學題型集粹與練習題集》非常好，有些同學就問我，哪一本書更重要，這個我就不好說了，因為有時候有些題，很多題是我從《數學復習指南》中改造過來的，前幾年又跑到《數學題型集粹與練習題集》那兒去了，所以這個很難說。

　　我覺得《重點題型80》那個是放在最后，還有《模擬試卷八套》適合給考前看看。剛才已經說了考前已經對某些題型很熟練了，我估計他怎么出我都能對付了，那是不是就不看了。有時候我們《模擬試卷八套》里有些題雖然還是在過去的基礎之上演變而來的，但畢竟不是太熟，在這種情況下你多看幾遍，甚至拿起筆來做做會有好處的。

　　我想《數學復習指南》應該是這幾本里面最重要的，然后就是考生最多采用的輔導書，好多考生我感覺他們可能是用得不當，不太會用，或者不知道怎么去用，因為好多考生說我都做了三遍了，甚至有的人都說我已經做了五遍了，我還是不會，您能不能指導一下這些考生，怎么去用這個書。

　　我的《數學復習指南》是這樣的，對特別重要的概念，定理和公式都配有例題，這個例題說白了就是幫助你吃透概念，吃透定理和公式。講到重要的題型，我在題型之前都有解題提示，解題提示務必很好的看一看，看完了解題提示，把后面的例題當做習題來做，不管你做對了做錯了，應該回過頭去再看看解題提示，看看我們錯錯在何處，為什么錯，這個很重要。

　　說起來很好笑，今年有兩個考我的研究生的，分數都考得很高，但是最后復試的時候我沒有讓他過關，我問他哪哪個定義是什么，他說不出來，積分定義是什么，他說不上來，后來我說你怎么回事？

　　我差點沒有把話說出來，你是否找人代考了，等我要說的時候，這個學生說，我就看你的書，我會做題，我當時聽了這話以后，我有點驚訝，我說我的書只會教學生做題，連最基本的定義都做不上來，所以通過我的書培養學生做題的能力是比較有效的。

　　我家里有好多學生給我寫的條子，贊揚我，還有我的數學同人對我的書也非常贊賞。還有很多老師他們看了我的書以后自己有新的體會，給我提供一些新的解題方法和技巧，后來我跟這些老師說，我說你的解題方法和思路不是我沒有想到，因為按照我的思維去考慮，你根本就不用想，肯定對的，按照這樣做下去是這樣的。

　　主持人：您最著名的好多學生都說，聽完您的課或者看完您的書，簡直就是一套解題方法的大全，看到什么題用什么方法去理，肯定能解出來。

　　陳文燈：是這樣的。

　　主持人：這樣可能對基礎比較薄弱的考生，對他們考高分肯定是非常有好處的。

　　陳文燈：對，就是剛才說的張亮的03年40多分，現在考到150分了。還有96年從新疆來了三個女孩子，有一個叫崔紅的來的以后就聽我的課，數學考了81分，另外兩個我就不說了。97年死纏著我，非要報我們的輔導班，我們的輔導班早就報滿了，最后我糾纏不過，我問她，我說你干嘛要在一棵樹上吊死，我說這么輔導班怎么不去啊，我就給他介紹一個輔導班，他說別提了，我說你考多少分，打說不好意思分，然后我說你不好意思說就不要說了，最后他說了，我考17分。最后我說，那你來吧，然后就來了，我們那時候收費便宜，210，她說能不能減少一點，我說算了不收你學費了。

　　98年5月份那一天，跟我打一個電話，情緒非常激動，說陳老師我告訴你一個好消息，我考上研究生了，我把戶口遷到北京來了，你家住哪兒，我向你表示感謝，我說你是誰？她說我把你都忘了，她說我是新疆來的叫黃明魏，很感謝你，要不是你的話，我數學又過不了關了，我說你數學考多少分，她說57分，我說你了不起了。

　　因為98年的數學題比97年難多了，98年那一年數學的錄取線開始定在40分，后來各個高校一降再降，降了37分。100分里面37分就錄取了，多低的分數，她考了57分，當然是了不起了。我說你要是做97年的試卷，你自己不是考過嗎，能考70分或者80分，她說那肯定是。所以我說有效

　　還有2002年參加了西安辦的學校，當時李崔是國家定級的專家到北京來，他沒有提我，大概就是說我吧。他當時學費90個課時是500，上了兩三天課，100人都不到，都走了。咱們工商大學有一個學生死心眼，就想堅持到底就是勝利，就堅持下來了，結果考了幾十分吧，后來2003年又跑到我們這兒來聽課，今年到我們那兒考分，數學考了100多，

　　前面我說的話都是前面這個人說出來的，他說看來還是要注意，不要上一些騙子的當。是有一些騙子特別愛騙你，比方說車接車送，接幾天就不接了，也不送了。

　　所以有的同學愛占小便宜，最后吃了大虧，他為什么到我們這兒來聽，因為我們這個學校上課的時候都跟學生說，我們學校對考高分的學生有獎勵，一等獎是1000，二等獎是500，三等獎是500，我們是135分以上給獎勵，過去是90分以上給獎勵。我們現在5年了，都很多高分的，滿分的都有。

　　所以我們是這么提的，我們后來宣傳是我個人定的，原來都是獨霸江湖這些，我說這些肯定不行，后來提出來基礎加題型，求真務實，不壓題勝似壓題，連續5年了，考研數學的搖籃。我們這是可以拿出來的，連續5年考研數學莊嚴的搖籃。今年4月17號中央財經大學黨委書記去參加我們的頒獎晚會，本來有一個叫孫鵬的也要去參加，沒曉得那天正好趕上了高教自考，他離不開所以沒去。

　　概率的復習問題

　　主持人：很多網友他們考生最大的問題，可能在概率和統計這一塊，他們對于概率的公式，很多考生說這些公式我是否都得記下來。

　　陳文燈：那當然了。

　　主持人：說這些公式大綱上有些是掌握，有些是理解，有些是了解，說是什么程度就算是理解，還有這些公式我背下來了，我怎么用才算是用得好？

　　陳文燈：這個概率很多，但是概率的公式并不難記，像大家覺得最難記的可能是條件分布密度，像這樣的一些問題，實際上大家理解了是很好記的，如果理解不了的話，我們有一個考研數學手冊，這個手冊在中國財經出版社出來的，這本手冊你多看它幾遍不就記住了嘛。

　　而且我們那上面有的公式怎么記還講了方法。有的問題，你比方說像概率中的第三部分，比如相關系數等，這些東西是要記的，不記沒辦法。后面的拉普拉斯定理等一些定理記，也沒多大用處，我給概率統計總結了九個思維定式，那上面都講到了，看那些書自然而然都會了。我還告訴學生，你首先要了解是以什么為中心，是以標準的靜態分布為中心。拿到了以后做題怎么做，第二步看這個變量，第二個服從什么步驟，求出均方差，第三步就是標準化，你比方說所謂標準化就是X大于A小于B，落在這個上面，那就A除于均方差，小于X除于均方差，這已經是標準的分布了。馬上除以均方差，減去A減去數學期望，所以它的均方差。這個就沒有不會的了，你要記那些公式干什么，就按這個去做就完了。

　　實際上統計你只要記得三個分布，X、T、F.知道這三個分布，三個分布的分布密度圖形，這個分布密度的公式不要記，記了也沒用，分布密度圖形，再一個是三個定義，就完了。最后置信區間，假設檢驗，實際上是同一種問題的兩種不同的處理問題方法。

　　置信區間，置信是這里面可以相信的，實際上和我們假設檢驗是一樣的。所以有時候有些東西你用漢語去理解就可以了，就可以記得了。再說也沒有必要關于數理統計，也沒有必要搞那么透，你只要把這幾個記住完了。

　　高等數學的復習思路

　　網友：陳老師您好，我是上了您暑期長期班的同學，我現在的復習狀況比較良好，但是還存在一些問題，第一個就是關于數理統計部分，每年都有一道這方面的大題，我是考數一，我應該怎么去把握這道題，我自己本身學計算機系的學生，我的老師授課也好，自己的底子不是太好，現在怎么去抓這種大題。

　　陳文燈：實際上我剛才已經說了，極大似然估計，還有統計量的培訓標準，尤其是無偏性和有效性。

　　網友：關于高數中比較復雜的計算題，到底掌握到什么程度了？

　　陳文燈：一點技巧都沒有的，很煩瑣的計算，告訴這位網友，不要去鉆牛尖角，他要考并不是特別難，但有一點小小的技巧，這個技巧要掌握就可以了。

　　網友：有些章節后面，有些小的概念，倒是沒有什么太大的難度，但是很瑣碎，像這樣的小概念把握到什么程度上？比如上像積分的聯散性，這樣的題目做到什么樣的程度就可以了。

　　陳文燈：我個人認為，如果要想考高分，有應該系統的學習，邊邊角角都不要放過，像系數怎么算，迪力赫萊、熟練性準則，這個當然應該會。還有就是關于廣義積分要求計算，不要求用廣義積分的判斷法去判斷。

　　像場論、梯度、旋度、這三個度要掌握。就是這些看起來好像不是太注意，還有像曲線的曲律、半徑這些東西并不難，公式記住就可以了，可是如果你不學習那是不行的。到時候就不行了。

　　線性代數的復習思路

　　網友：今年考試的側重點？線性代數矩陣向量方面的知識點多不多？應該怎么樣重復學習？

　　陳文燈：他考數學沒說清楚，如果考數學二和四的，線性代數的重點應該放在矩陣求逆，向量組的線性相關和線性無關。再一個就是帶有參數的線性方向組的討論，這個差不多年年考，所以我認為這是重點的重點。如果考數學一、三，當然還應該加上二次型和標準型，化為標準型。

　　主持人：冪級數您怎么看？

　　陳文燈：冪級數實際上要說簡單了，主要掌握四個方面的特點：第一個求冪級數的收斂域、收斂半徑。這個一般是通過填空題來出題的，再一個是另一項單項選擇題。再一個就是將函數展成冪級數，再就是積數求和，大題就是這些了。也可能明天會這樣，先給你一個冪級數，讓你求它和，然后這個和又讓你在另外一個點處再展冪級數，兩方面都考到了，其實不難。

　　主持人：還有一個考生不管是數一到數四的考生都要問的問題，就是證明題，證明題很棘手有什么方法。

　　陳文燈：過去愛考的是這么幾個，微分中值定義，函數或者是方程存在唯一的實根問題，再一個最要考的是不等式的證明，一般不等式的證明是利用函數來出的。再一個要講的就沒有什么證明題好出了，還要出的話就是太難了，好像利用泰勒公式來證明一些，這算是比較難的了。

　　反正把我書中的那些證明的內容掌握住了，就差不多了，尤其要讓考研的朋友們注意的是，我書中寫的函數方程與不等式的證明，這一章特別特別重要。如果要看的還可以定級分、等式和不等式的證明，我在復習指南里面感到學生特別困難的，我這里面都講了方法和技巧了。

　　主持人：我聽了您講這么長時間，我可以試圖解答一位網友的問題，為什么在指南里面的題，他做起來感覺沒有考研的真題難？我是不是可以這兒理解，因為您的教材注重的是方法，試圖用例題去讓大家掌握和體會這種方法，所以我們沒有做到像考研的真題那樣的難度。是這樣嗎？

　　陳文燈：這不是怎么回事，現在什么叫難題，因為難題是因為你平時很少接觸，很少做你才覺得它難，一旦你知道了它的解題方法和技巧，算是難題嗎？為什么一些考研朋友覺得我的數學題簡單，因為那些方法都在那兒擺著，你往里套不就很簡單了嗎，所以他就覺得書里面的題對他來講不難了，而實際上并不是那么回事，研究生考試的考題絕對是比我們書中的一些題要簡單。

　　主持人：那還是考生沒有掌握到。

　　陳文燈：對，就是這樣。

　　再談考研數學整體復習

　　主持人：因為今天時間有限，我們現在只能最后再請陳老師給考生們做一些總結或者一些方法指導。

　　陳文燈：好的，感謝考研朋友聽我講了這么長的時間，最后我想跟考研朋友們講，就是學數學一定要注意方法和技巧，你光是苦干還不行，一定在作題的過程中要加入自己的思考，做完了題一定要歸納總結，想想這個題我為什么一開始就沒有想到這種方法，后來為什么又想到了這種方法，多為自己提幾個為什么，這樣的話對自己是有好處的。

　　時間長了，久而久之就會養成一種習慣，有一個考研考了三年，社會大學的，這位同學他的經驗很值得我們去吸取，他第一年聽了課以后感到很輕松，過去最怕的就是數學，聽完課以后感覺一身輕松，他聽說之后說我也早就考考驗輔導班了，當時他說完了我就說，我說你怎么就掌握了，你說這話太早了吧，我說等你考完研分數出來以后，再說不晚，最后分數出來了，哭喪著臉到我家，我一看這狼狽樣，我說怎么樣？沒考上吧，數學沒考好吧，我說你數學考多少分？他說36分，我說果然不出我所料，他當時表情非常痛苦。說陳老師你別說了，我現在想希望你幫我總結一下，我失敗的原因。我說那很簡單就是你的基礎不行，我說你沒有聽過一句話，冰凍山折會一日之寒，我聽了你20次課就能解決問題，我要有這個本事，我也不在這里講課了，全世界都拜我為師了。

　　第二次他又考了，吸取了第一次的教訓，重視了抓基礎，第二年他數學考了78分，一下子就上升了。可是專業課沒考好，又失去了繼續深造的機會，2000年他終于如愿以償考上了中國人民大學研究所的研究生，科學考了93.

　　最后他自己說，他說我看到某一個你基本數中的例題，我就想這個例題簡單，如果我是命題老師，我怎么改造一下使它復雜一點，看到你書中比較難的題，我就想這樣的題不太可能考，我怎么把它化解一下，使他簡單一點，他這個想法對了，把自己擺進去，把自己當做是命題的專家，這樣的話自然而然就考好了。

　　我就希望我們廣大的考研朋友把自己當做命題的專家，擺正題，對于無論是什么樣的題多家思考，我相信成功一定是你們的。祝廣大考研朋友復習好，明年在考研的時候創造奇跡！謝謝！

　　主持人：謝謝，謝謝陳老師今天給考研朋友們提供的輔導，謝謝我們的合作伙伴給我們提供了這次機會，今天陳老師講了這么多方法，也希望我們的考生回去能穩扎穩打的復習。今天的訪談到此結束，謝謝大家！

上海在中國地圖的東南西北哪個方向？（答案為一個字）

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