考研數(shù)學(xué) - 話題

近年來考研數(shù)學(xué)試題難度比較大，平均分比較低，而高等數(shù)學(xué)又是考研數(shù)學(xué)的重中之重，如何備考高等數(shù)學(xué)已經(jīng)成為廣大考生普遍關(guān)心的重要問題。根據(jù)筆者多年的輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，要特別注意以下三個(gè)方面。

　　第一，按照大綱對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基本方法、基本定理準(zhǔn)確把握。數(shù)學(xué)是一門演繹的科學(xué)，靠?jī)e幸押題是行不通的。只有對(duì)基本概念有深入理解，對(duì)基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點(diǎn)。分析近幾年考生的數(shù)學(xué)答卷可以發(fā)現(xiàn)，考生失分的一個(gè)重要原因就是對(duì)基本概念、定理理解不準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)中最基本的方法掌握不好，給解題帶來思維上的困難。數(shù)學(xué)的概念和定理是組成數(shù)學(xué)試題的基本元件，數(shù)學(xué)思維過程離不開數(shù)學(xué)概念和定理，因此，正確理解和掌握好數(shù)學(xué)概念、定理和方法是取得好成績(jī)的基礎(chǔ)和前提。

　　第二，要加強(qiáng)解綜合性試題和應(yīng)用題能力的訓(xùn)練，力求在解題思路上有所突破。綜合題的考查內(nèi)容可以是同一學(xué)科的不同章節(jié)，也可以是不同學(xué)科的。近幾年試卷中常見的綜合題有：級(jí)數(shù)與積分的綜合題；微積分與微分方程的綜合題；求極限的綜合題；空間解析幾何與多元函數(shù)微分的綜合題；線性代數(shù)與空間解析幾何的綜合題；以及微積分與微分方程在幾何上、物理上、經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題等等。在解綜合題時(shí)，迅速地找到解題的切入點(diǎn)是關(guān)鍵一步，為此需要熟悉規(guī)范的解題思路，考生應(yīng)能夠看出面前的題目與他曾經(jīng)見到過的題目的內(nèi)在聯(lián)系。為此必須在復(fù)習(xí)備考時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行重組，搞清有關(guān)知識(shí)的縱向與橫向聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為自己真正掌握的東西。解應(yīng)用題的一般步驟都是認(rèn)真理解題意，建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，如微分方程、函數(shù)關(guān)系、條件極值等，將其化為某數(shù)學(xué)問題求解。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般要用到幾何知識(shí)、物理力學(xué)知識(shí)和經(jīng)濟(jì)學(xué)術(shù)語等。

　　第三，重視歷年試題的強(qiáng)化訓(xùn)練。統(tǒng)計(jì)表明，每年的研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)內(nèi)容較之前幾年都有較大的重復(fù)率，近年試題與往年考題雷同的占50%左右，這些考題或者改變某一數(shù)字，或改變一種說法，但解題的思路和所用到的知識(shí)點(diǎn)幾乎一樣。所以希望考生一是要注意年年被考到的內(nèi)容，對(duì)往年考題要全部消化鞏固；二是注意那些多年沒考到而大綱要求的內(nèi)容。這樣，通過對(duì)考研的試題類型、特點(diǎn)、思路進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)，并做一定數(shù)量習(xí)題，有意識(shí)地重點(diǎn)解決解題思路問題。對(duì)于那些具有很強(qiáng)的典型性、靈活性、啟發(fā)性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養(yǎng)。盡管試題千變?nèi)f化，其知識(shí)結(jié)構(gòu)基本相同，題型相對(duì)固定。提練題型的目的，是為了提高解題的針對(duì)性，形成思維定勢(shì)，進(jìn)而提高考生解題的速度和準(zhǔn)確性。

　　下面以數(shù)學(xué)一為主總結(jié)一下高數(shù)各部分常見題型。

　　一、函數(shù)、極限與連續(xù)

　　求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)；

　　求極限或已知極限確定原式中的常數(shù)；

　　討論函數(shù)的連續(xù)性，判斷間斷點(diǎn)的類型；

　　無窮小階的比較；

　　討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或確定方程在給定區(qū)間上有無實(shí)根。

　　二、一元函數(shù)微分學(xué)

　　求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分（包括高階導(dǎo)數(shù)），隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)，特別是分段函數(shù)和帶有絕對(duì)值的函數(shù)可導(dǎo)性的討論；

　　利用洛比達(dá)法則求不定式極限；

　　討論函數(shù)極值，方程的根，證明函數(shù)不等式；

　　利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關(guān)命題，如“證明在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)滿足……”，此類問題證明經(jīng)常需要構(gòu)造輔助函數(shù)；

　　幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用問題，解這類問題，主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，判定所討論區(qū)間；

　　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形，求曲線漸近線。

　　三、一元函數(shù)積分學(xué)

　　計(jì)算題：計(jì)算不定積分、定積分及廣義積分；

　　關(guān)于變上限積分的題：如求導(dǎo)、求極限等；

　　有關(guān)積分中值定理和積分性質(zhì)的證明題；

　　定積分應(yīng)用題：計(jì)算面積，旋轉(zhuǎn)體體積，平面曲線弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)面面積，壓力，引力，變力作功等；

　　綜合性試題。

　　四、向量代數(shù)和空間解析幾何

　　計(jì)算題：求向量的數(shù)量積，向量積及混合積；

　　求直線方程，平面方程；

　　判定平面與直線間平行、垂直的關(guān)系，求夾角；

　　建立旋轉(zhuǎn)面的方程；

　　與多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用或與線性代數(shù)相關(guān)聯(lián)的題目。

　　五、多元函數(shù)的微分學(xué)

　　判定一個(gè)二元函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)是否存在、是否可微，偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)；

　　求多元函數(shù)（特別是含有抽象函數(shù)）的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，求隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)；

　　求二元、三元函數(shù)的方向?qū)��?shù)和梯度；

　　求曲面的切平面和法線，求空間曲線的切線與法平面，該類型題是多元函數(shù)的微分學(xué)與前面向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題，應(yīng)結(jié)合起來復(fù)習(xí)；

　　多元函數(shù)的極值或條件極值在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題；求一個(gè)二元連續(xù)函數(shù)在一個(gè)有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。這部分應(yīng)用題多要用到其他領(lǐng)域的知識(shí)，考生在復(fù)習(xí)時(shí)要引起注意。

　　六、多元函數(shù)的積分學(xué)

　　二重、三重積分在各種坐標(biāo)下的計(jì)算，累次積分交換次序；

　　第一型曲線積分、曲面積分計(jì)算；

　　第二型（對(duì)坐標(biāo)）曲線積分的計(jì)算，格林公式，斯托克斯公式及其應(yīng)用；

　　第二型（對(duì)坐標(biāo)）曲面積分的計(jì)算，高斯公式及其應(yīng)用；

　　梯度、散度、旋度的綜合計(jì)算；

　　重積分，線面積分應(yīng)用；求面積，體積，重量，重心，引力，變力作功等。數(shù)學(xué)一考生對(duì)這部分內(nèi)容和題型要引起足夠的重視。

　　七、無窮級(jí)數(shù)

　　判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂、條件收斂；

　　求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂域；

　　求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)或求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和；

　　將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)（包括寫出收斂域）；

　　將函數(shù)展開為傅立葉級(jí)數(shù)，或已給出傅立葉級(jí)數(shù)，要確定其在某點(diǎn)的和（通常要用狄里克雷定理）；

　　綜合證明題。

　　八、微分方程

　　求典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問題首先是判別方程類型，當(dāng)然，有些方程不直接屬于我們學(xué)過的類型，此時(shí)常用的方法是將x與y對(duì)調(diào)或作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把原方程化為我們學(xué)過的類型；

　　求解可降階方程；

　　求線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解；

　　根據(jù)實(shí)際問題或給定的條件建立微分方程并求解；

　　綜合題，常見的是以下內(nèi)容的綜合：變上限定積分，變積分域的重積分，線積分與路徑無關(guān)，全微分的充要條件，偏導(dǎo)數(shù)等。

　　總之，對(duì)考生來說，要想在數(shù)學(xué)考試中取得好成績(jī)，必須認(rèn)真系統(tǒng)地按照各類考試大綱的要求全面復(fù)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)的基本概念、基本方法和基本定理。平時(shí)注意抓題型的解決方法和技巧，不斷總結(jié)。最后按規(guī)定時(shí)間做幾份模擬題，了解一下究竟掌握到什么程度，同時(shí)知道薄弱環(huán)節(jié)，抓緊時(shí)間補(bǔ)上。如果考生能夠通過做題，將遇到的各種題進(jìn)行延伸或變式，做到融會(huì)貫通，一定會(huì)取得好的成績(jī)。

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