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考研數(shù)學復習點撥：內功深厚 融會貫通
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樓主
數(shù)學教研室劉緯宇老師在之前的指導類文章中已經(jīng)提及并介紹過泰勒公式產(chǎn)生于用簡單的函數(shù)代替復雜的函數(shù)。現(xiàn)在不妨設f(x)為一個復雜的函數(shù)，而f(x0)+ f'(x0)(x-x0)+ f''(x0)/2!(x-x0)^2+...+ f(n)(x0)/n!(x-x0)^n是簡單的函數(shù)，其中x0為給定的實數(shù)。這時老師雖看不到屏幕前你的表情，但能猜到大概。肯定有人在犯嘀咕：老師， 你不是在忽悠我吧？怎么我的感覺和你說的正好相反——你說的復雜的函數(shù)我看起來很簡單，你說的簡單的函數(shù)反而看起來很復雜？
這還是老問題，我們看問題要看本質：f(x)涉及到復雜的運算，但卻披著一個簡單的符號表示外 殼；那個長長的函數(shù)雖然樣子復雜，但只涉及到了簡單的運算：加法和乘法，人家是多項式！還有小伙伴在疑惑中，真的是多項式嗎？請注意一長串符號中哪些是常 量，哪些是變量：只有x是變量，其余皆為常數(shù)。注意到x的最高次數(shù)出現(xiàn)在最后一項，為n次，所以我們可以明正言順地給這個“長長的式子”起個名字了——n 次多項式。 請仔細觀察，這兩個函數(shù)有什么關系？計算如下幾項即可水落石出：二者在x0的函數(shù)值，一階導數(shù) 值，二階導數(shù)值，......,n階導數(shù)值。發(fā)現(xiàn)什么了？二者的上述數(shù)值均相等。這說明什么？說明了二者在x0的附近函數(shù)值非常接近。如果畫出二者圖像， 不難得出二者在x0附近的圖像很接近。現(xiàn)在咱們的數(shù)學問題是不是初步得到解決了：復雜的函數(shù)在x0附近和簡單的函數(shù)——n次多項式近似相等。只是近似相等！數(shù)學家仍不滿足，他們有“宜將剩勇追窮寇，不可沽名學霸王”的情懷，于是考慮： 二者到底差多少呢？二者的差值我們稱為余項。余項有兩種形式：帶小o的形式和帶中值的形式，分別稱為皮亞諾余項和拉格朗日余項(我很想寫“張三余項”，可 是張三水平不夠，未作出相應貢獻)。兩種形式的公式能在各自的地盤上一顯身手：前者用來算極限，后者用來證明。 看，泰勒公式已悄然來到我們身邊！下面，我們經(jīng)典再回首，看看“高大上”的泰勒公式到底為何物。泰勒公式的思想是用簡單的多項式函數(shù)表示復雜的函數(shù)。二者的差值用余項表示，余項有兩種形式：皮亞諾余項和拉格朗日余項。前者用來算極限，后者用來證明。 聊完了計算極限的高級武器——泰勒公式，我們再看打通線代任督二脈的不二法門——秩。秩可謂穿 越古今中外。在中國古代，有“品秩”一說，表示官員按照俸祿的排序。在現(xiàn)代社會，請大家用秩組個詞？不少同學會想到“秩序”。這個詞也有次序的含義。那么 秩在英文中對應哪個單詞呢？對，rank。rank也有次序，排序之意。總之，秩有級別、排序之意。那么在數(shù)學中矩陣的秩，向量組的秩是否也有此意呢？欲 知后事如何，且聽下回分解。(劉緯宇/文) |
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