長春理工大學

高等數學大綱

考試科目：高等數學

試卷題型結構為：

單選題 8小題，每題4分，共32分

填空題 6小題，每題4分，共24分

解答題(包括證明題) 9小題，共94分

高等數學

一、函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法　函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性　復合函數、反函數、分段函數和隱函數　基本初等函數的性質及其圖形　初等函數　函數關系的建立

數列極限與函數極限的定義及其性質　函數的左極限與右極限　無窮小量和無窮大量的概念及其關系　無窮小量的性質及無窮小量的比較　極限的四則運算　極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則　兩個重要極限:

函數連續的概念　函數間斷點的類型　初等函數的連續性　閉區間上連續函數的性質

考試要求

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系.

2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.

3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念.

4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.

5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系.

6.掌握極限的性質及四則運算法則.

7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.

9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.

10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質.

二、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念　導數的幾何意義和物理意義　函數的可導性與連續性之間的關系　平面曲線的切線和法線　導數和微分的四則運算 基本初等函數的導數　復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法　高階導數 一階微分形式的不變性　微分中值定理　洛必達(L’Hospital)法則　函數單調性的判別 函數的極值　函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線　函數圖形的描繪　函數的最大值和最小值　弧微分　曲率的概念　曲率圓與曲率半徑

考試要求

1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系.

2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.

3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數.

4.會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.

5.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理.

6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.

7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用.

8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注：在區間 內，設函數 具有二階導數。當 時， 的圖形是凹的;當 時， 的圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形.

9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.

三、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念　不定積分的基本性質　基本積分公式　定積分的概念和基本性質　定積分中值定理　積分上限的函數及其導數　牛頓一萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法　有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分　反常(廣義)積分　定積分的應用

考試要求

1.理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.

4.理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式.

5.了解反常積分的概念，會計算反常積分.

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平均值.

四、向量代數和空間解析幾何

考試內容

向量的概念　向量的線性運算　向量的數量積和向量積　向量的混合積　兩向量垂直、平行的條件　兩向量的夾角　向量的坐標表達式及其運算　單位向量　方向數與方向余弦　曲面方程和空間曲線方程的概念　平面方程、直線方程　平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件　點到平面和點到直線的距離　球面　柱面　旋轉曲面　常用的二次曲面方程及其圖形　空間曲線的參數方程和一般方程　空間曲線在坐標面上的投影曲線方程

考試要求

1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示.

2.掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)，了解兩個向量垂直、平行的條件.

3.理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法.

4.掌握平面方程和直線方程及其求法.

5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等)解決有關問題.

6.會求點到直線以及點到平面的距離.

7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念.

8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程.

9.了解空間曲線的參數方程和一般方程.了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程.

五、多元函數微分學

考試內容

多元函數的概念　二元函數的幾何意義　二元函數的極限與連續的概念 有界閉區域上多元連續函數的性質　多元函數的偏導數和全微分　全微分存在的必要條件和充分條件 多元復合函數、隱函數的求導法 二階偏導數　方向導數和梯度　空間曲線的切線和法平面　曲面的切平面和法線　二元函數的二階泰勒公式　多元函數的極值和條件極值　多元函數的最大值、最小值及其簡單應用

考試要求

1.理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

2.了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.

3.理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.

4.理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法.

5.掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法.

6.了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.

7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

8.了解二元函數的二階泰勒公式.

9.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

六、多元函數積分學

考試內容

二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用　兩類曲線積分的概念、性質及計算　兩類曲線積分的關系　格林(Green)公式　平面曲線積分與路徑無關的條件　二元函數全微分的原函數　兩類曲面積分的概念、性質及計算 兩類曲面積分的關系　高斯(Gauss)公式　斯托克斯(Stokes)公式　散度、旋度的概念及計算 曲線積分和曲面積分的應用.

考試要求

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理.

2.掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).

3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.

4.掌握計算兩類曲線積分的方法.

5.掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數.

6.了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分.

7.理解散度與旋度的概念，并會計算.

8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等).

七、無窮級數

考試內容

常數項級數的收斂與發散的概念　收斂級數的和的概念　級數的基本性質與收斂的必要條件　幾何級數與 級數及其收斂性　正項級數收斂性的判別法　交錯級數與萊布尼茨定理　任意項級數的絕對收斂與條件收斂　函數項級數的收斂域與和函數的概念　冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域　冪級數的和函數　冪級數在其收斂區間內的基本性質 簡單冪級數的和函數的求法　初等函數的冪級數展開式 函數的傅里葉(Fourier)系數與傅里葉級數　狄利克雷(Dirichlet)定理　函數在 上的傅里葉級數　函數在 上的正弦級數和余弦級數

考試要求

1.理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.

2.掌握幾何級數與 級數的收斂與發散的條件.

3.掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.

4.掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.

5. 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系.

6.了解函數項級數的收斂域及和函數的概念.

7.理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.

8.了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和.

9.了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件.

10.掌握

， ， 及 的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數.

 

11.了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在

上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在 上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式.

 

八、常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念　變量可分離的微分方程　齊次微分方程　一階線性微分方程　伯努利(Bernoulli)方程　全微分方程　可用簡單的變量代換求解的某些微分方程　可降階的高階微分方程　線性微分方程解的性質及解的結構定理　二階常系數齊次線性微分方程　高于二階的某些常系數齊次線性微分方程　簡單的二階常系數非齊次線性微分方程 歐拉(Euler)方程　微分方程的簡單應用

考試要求

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法.

3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程.

4.會用降階法解下列形式的微分方程： .

5.理解線性微分方程解的性質及解的結構.

6.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程.

7.會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程.

8.會解歐拉方程.

9.會用微分方程解決一些簡單的應用問題.