長春理工大學

長春理工大學數學研究生入學復試

《常微分方程》考試大綱

一、總體要求

本課程主要是使學生掌握一階微分方程的初等解法、一階微分方程的解的存在定理、高階微分方程及線性微分方程解的一般理論，了解非線性微分方程解的穩定性.常微分方程是一門與實際應用聯系很強的課程，在學習過程中，應當理論聯系實際，通過學習該課程使學生能提出問題、分析問題、解決問題，增強學生分析問題和解決問題的能力.

二、教材

常微分方程(第三版)，王高雄等，高等教育出版社，2006.

三、考試內容

(一)一階微分方程的初等解法

1.要求考生熟練變量分離方程、齊次方程的求解.

2.要求考生理解一階線性方程與常數變易法，并用常數變易法求解伯努利方程.

3.要求考生熟練掌握恰當方程的解法，對于非恰當方程，要求會求積分因子，并熟練求出其解.

4.要求考生了解一階隱式方程與參數表示，并會求解一些一階隱式方程.

5.能夠解決比較簡單的應用問題.

(二)一階微分方程的解的存在唯一性定理

1.要求考生熟練掌握一階微分方程解的存在唯一性定理的表述及證明方法，并會利用解的存在唯一性定理解決實際問題.

2.要求考生理解解的延拓、解對初值的連續性與可微性定理，以及奇解和包絡，掌握怎樣求解的最大存在區間.

(三)高階微分方程

1.要求考生理解高階線性微分方程一般理論，并熟練用常數變易法求解高階微分方程.

2.要求考生熟練掌握常系數線性微分方程的解法.

(四)線性微分方程組

1.要求考生理解線性微分方程組的一般理論，掌握線性齊次微分方程組的解組的線性相關性與朗斯基行列式的關系，了解齊次微分方程組的解的結構與劉維爾公式.

2. 要求考生在已知齊次方程組的一個基礎解系的條件下，會通過系數變易的方法求出非齊次方程組的一個特解.

3.要求考生熟練掌握常系數線性微分方程組的解法.

(五)非線性微分方程

1.要求考生了解按線性近似微分方程組的穩定性，掌握平面線性定常系統奇點類型分析方法;掌握平面定常系統奇點附近軌線分析方法.

2.要求考生熟練掌握李雅普諾夫第二方法判斷線性微分方程的穩定性，了解平面定常系統極限環存在性判別方法.