湖北民族學(xué)院

高等代數(shù)

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數(shù)學(xué)

《高等代數(shù)》課程是數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試必考科目之一，是由教育部授權(quán)各招生院校自行命題的選拔性考試。《高等代數(shù)》考試的目的是考察考生是否具備進(jìn)行本學(xué)科各專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平。

高等代數(shù)主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式、行列式和線性方程組、矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)形、特征值和特征向量、線性變換和歐式空間。要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法，有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力。

包括：1. 考試時(shí)間：考試時(shí)間為180分鐘。

2. 試卷滿分：本試卷滿分為150分。

3. 考試形式：閉卷、筆試。

4. 題型：計(jì)算題、證明題。

1．一元多項(xiàng)式

了解：數(shù)域的概念與性質(zhì)、一元多項(xiàng)式環(huán)的概念、P[x]中n次多項(xiàng)式在數(shù)域P中的根不可能多于n個(gè)、多項(xiàng)式的因式分解.

理解：因式分解及唯一性定理、重因式的概念、余數(shù)定理、根與一次因式的關(guān)系、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理.

掌握：多項(xiàng)式的概念、多項(xiàng)式的運(yùn)算及性質(zhì)、整除的概念與性質(zhì)、帶余除法定理及證明、最大公因式的概念與求法（歐幾里德算法）、多項(xiàng)式互素的概念與性質(zhì)、多項(xiàng)式互素的概念與性質(zhì)、判別多項(xiàng)式f(x)有無重因式的方法、本原多項(xiàng)式的概念及性 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的理論與方法、 Eisenstein判別法.

2．行列式

了解：行列式概念的引出及應(yīng)用、排列、排列的逆序數(shù)、偶排列與奇排列的概念與性質(zhì)排列、排列的逆序數(shù)、偶排列與奇排列的概念與性質(zhì)、拉普拉斯定理.

理解：對(duì)角形行列式的性質(zhì)、子式和代數(shù)余子式、行列式的乘法定理.

掌握：n級(jí)行列式的定義、行列式的性質(zhì)、簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算、行列式按一行（列）展開定理、Cramer法則及應(yīng)用.

3. 線性方程組

了解：線性方程組初等變換的概念及性質(zhì).

理解：線性組合和線性表出以及兩個(gè)向量組等價(jià)的概念、矩陣秩的概念、矩陣k級(jí)子式的概念及矩陣秩為r的充分必要條件、向量組線性相關(guān)性與齊次線性方程組解的關(guān)系.

掌握：利用初等變換（消元法）解線性方程組的方法、矩陣的初等變換、數(shù)域P上的n維向量的概念及運(yùn)算規(guī)則、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念及基本性質(zhì)、求向量組的極大線性無關(guān)組與秩、計(jì)算矩陣秩的方法、線性方程組有解判別定理、齊次線性方程組解的性質(zhì)及基礎(chǔ)解系的概念、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的方法、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理.

4. 矩陣

了解：矩陣乘積(為方陣時(shí))的行列式與秩和它的因子的行列式與秩的關(guān)系、可逆矩陣與矩陣乘積的逆與秩的關(guān)系、分塊矩陣及分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)律及應(yīng)用.

理解：矩陣A可逆及逆矩陣的概念、初等矩陣的概念與性質(zhì)、矩陣等價(jià)的概念、任一矩陣都與其標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià).

掌握：矩陣的加法、乘法、數(shù)量乘法及矩陣的轉(zhuǎn)置定義及性質(zhì)、伴隨矩陣與逆矩陣的關(guān)系、初等變換與初等矩陣的關(guān)系及矩陣A與B等價(jià)的充要條件、判定可逆性和求逆矩陣的方法.

5. 二次型

了解：二次型、二次型矩陣的概念及二次型的矩陣表示、復(fù)二次型、實(shí)二次型的規(guī)范形及規(guī)范形的唯一性（慣性定理）.

理解：矩陣合同的概念及性質(zhì)、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形概念、任一對(duì)稱矩陣都合同于一對(duì)角矩陣.

掌握：用非退化線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法、正定二次型及正定矩陣的概念、二次型為正定的充分必要條件及正定矩陣的性質(zhì).

6. 線性空間

了解：集合，映射的概念、線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)、子空間的概念、直和的概念．

理解：線性空間維數(shù)、基與坐標(biāo)的概念、子空間交與和的概念、維數(shù)公式、數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件．

掌握：過渡矩陣的概念及坐標(biāo)變換公式、線性空間V的非空子集W成為子空間的條件、生成的子空間概念及性質(zhì)、掌握V1+V2是直和的充分必要條件、同構(gòu)概念及性質(zhì)．

7. 線性變換

了解： 線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)；線性變換的乘法、加法、數(shù)乘、逆變換的概念與性質(zhì)、特征子空間概念、Hamilton-Caylay定理．

理解：相似矩陣的概念與性質(zhì)、線性變換的值域與核的概念及主要性質(zhì)、不變子空間的概念及主要性質(zhì).

掌握：線性變換的概念、恒等變換、數(shù)乘變換、線性變換在某基下的矩陣的概念、在取定一組基后，線性變換與n×n矩陣1—1對(duì)應(yīng)、用線性變換矩陣計(jì)算向量的象的坐標(biāo)的公式、線性變換在兩組基下的矩陣之間的關(guān)系、特征值與特征向量的概念以及求特征值與特征向量的方法、n維線性空間的一個(gè)線性變換在某基下的矩陣為對(duì)角矩陣的充分必要條件及判別辦法、矩陣相似于一個(gè)對(duì)角矩陣的條件．

8.歐幾里得空間

了解：歐氏空間同構(gòu)的概念及條件.

理解：歐幾里得空間的定義及基本性質(zhì)、向量長(zhǎng)度的概念、單位向量、柯西-布涅柯夫斯基不等式、夾角的概念．

掌握：正交向量及性質(zhì)、度量矩陣的概念；標(biāo)準(zhǔn)正交基定義、熟練掌握施密特正交化過程以及正交對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣

北京大學(xué)編《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷.