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    2021年北京郵電大學601數學分析考研大綱

    分類:2025考研大綱 來源:北京郵電大學 2020-10-26 相關院校:北京郵電大學

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    601數學分析

    一、考試目的

    要求考生比較系統地理解和掌握數學分析的基本概念、基本理論和基本方法。同時,考察考生的邏輯推理能力、計算能力和運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

    二、考試內容

    1、實數集與函數

    實數的概念,實數的性質,絕對值與不等式,區間與鄰域,有界集與無界集,上確界與下確界,確界原理;函數的定義,函數的表示法,分段函數,有界函數,單調函數,奇函數與偶函數,周期函數。

    2、數列極限

    極限概念,收斂數列的性質(唯一性,有界性,保號性,單調性),數列極限存在的條件(單調有界準則,迫斂性法則,柯西準則)。

    3、函數極限

    函數極限的概念,單側極限的概念,函數極限的性質(唯一性,局部有界性,局部保號性,不等式性,迫斂性),函數極限存在的條件(歸結原則(Heine定理),柯西準則),兩個重要極限,無窮小量與無窮大量,階的比較。

    4、函數連續

    一點連續的定義,區間連續的定義,單側連續的定義,間斷點及其分類,連續函數的局部性質及運算,閉區間上連續函數的性質(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性),復合函數的連續性,反函數的連續性,初等函數的連續性。

    5、導數與微分

    導數的定義,單側導數,導函數,導數的幾何意義,導數公式,導數的運算(四則運算),求導法則(反函數的求導法則,復合函數的求導法則,隱函數的求導法則,參數方程的求導法則),微分的定義,微分的運算法則,微分的應用,高階導數與高階微分。

    6、微分學基本定理

    羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則,泰勒公式。

    7、導數的應用

    函數的單調性與極值,函數凹凸性與拐點。

    8、實數完備性定理及應用

    閉區間套定理,單調有界定理,柯西收斂準則,確界存在定理,聚點定理,有限覆蓋定理,有界性定理的證明,最大小值性定理的證明,介值性定理的證明,一致連續性定理的證明。

    9、不定積分

    不定積分概念,換元積分法與分部積分法,幾類可化為有理函數的積分。

    10、定積分

    黎曼積分定義,函數可積的必要條件,可積性條件,達布上和與達布下和,可積函數類,可變上限積分,牛頓-萊布尼茲公式,無窮積分收斂與發散的概念,審斂法(柯西準則,比較法,狄利克雷與阿貝爾判別法),瑕積分的收斂與發散的概念,收斂判別法。

    11、定積分的應用

    平面圖形的面積,微元法,已知截面面積函數的立體體積,旋轉體的體積平面曲線的弧長與微分,曲率,功,液體壓力,引力。

    12、數項級數

    無窮級數收斂,發散等概念,柯西準則,收斂級數的基本性質,比較原理,達朗貝爾判別法,柯西判別法,積分判別法,交錯級數與萊布尼茲判別法,絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質,阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

    13、函數項級數

    一致收斂性及一致收斂判別法(柯西準則,優級數判別法,狄利克雷與阿貝爾判別法),一致收斂的函數列與函數項級數的性質(連續性,可積性,可微性)。

    14、冪級數

    阿貝爾定理,收斂半徑與收斂區間,冪級數的一致收斂性,冪級數和函數的分析性質,幾種常見初等函數的冪級數展開與泰勒定理。

    15、傅里葉級數

    三角函數與正交函數系, 付里葉級數與傅里葉系數, 以2p為周期函數的付里葉級數, 收斂定理,以2L為周期的付里葉級數,收斂定理的證明。

    16、多元函數極限與連續

    平面點集與多元函數的概念,二元函數的極限、累次極限,二元函數的連續性概念,連續函數的局部性質及初等函數連續性。

    17、多元函數的微分學

    偏導數的概念,偏導數的幾何意義,偏導數與連續性,連續性與可微性,偏導數與可微性,多元復合函數微分法及求導公式,方向導數與梯度,泰勒定理與極值。

    18、隱函數定理及其應用

    隱函數的概念,隱函數的定理,隱函數求導舉例,隱函數組存在定理,反函數組與坐標變換,雅可比行列式,平面曲線的切線與法線,空間曲線的切線與法平面,曲面的切平面和法線,條件極值的概念,條件極值的必要條件。

    19、重積分

    二重積分的概念,可積條件,可積函數,二重積分的性質,二重積分的計算:化二重積分為累次積分,換元法(極坐標變換,一般變換),含參變量的積分,化三重積分為累次積分, 換元法(一般變換,柱面坐標變換,球坐標變換),立體體積,曲面的面積,物體的重心,轉動慣量,含參變量非正常積分及其一致收斂性概念,一致收斂的判別法(柯西準則,與函數項級數一致收斂性的關系,一致收斂的M判別法),含參變量非正常積分的分析性質,歐拉積分:伽馬函數及其性質,貝塔函數及其性質。

    20、曲線積分與曲面積分

    第一型曲面積分的的概念、性質與計算,第二型曲線積分的概念、性質與計算,兩類曲線積分的聯系,格林公式,曲線積分與路線的無關性, 全函數,曲面的側,第二型曲面積分概念及性質與計算,兩類曲面積分的關系,高斯公式,斯托克斯公式,空間曲線積分與路徑無關性,場的概念,梯度,散度和旋度。

    三、試卷結構

    考試題型:計算題、證明題

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