北京師范大學(xué)

714數(shù)學(xué)分析

北京師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析大綱

參考書(shū):

1.數(shù)學(xué)分析第二版上、下, 陳紀(jì)修等, 高等教育出版社, 2004.

2.簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)分析 第二版, 郇中丹等, 高等教育出版社， 2009.

3.數(shù)學(xué)分析第3版(1-3冊(cè)), 鄭學(xué)安等編著, 北京師范大學(xué)出版社, 2010。

一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容：實(shí)數(shù)概念及性質(zhì)，確界原理，閉區(qū)間套定理，函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立.

考試要求：

1.理解實(shí)數(shù)概念,掌握實(shí)數(shù)的小數(shù)表示及性質(zhì).

2.掌握確界概念并會(huì)應(yīng)用確界原理.

3.掌握閉區(qū)間套概念并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間套定理.

4.理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.

5.掌握函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

6.掌握復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

7.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,理解初等函數(shù)的概念.

二、數(shù)列與一元函數(shù)的極限

考試內(nèi)容：數(shù)列極限和函數(shù)極限(簡(jiǎn)稱(chēng)極限)的定義，數(shù)列的上、下極限，函數(shù)的單側(cè)極限(自變量趨于單點(diǎn)時(shí)函數(shù)的左極限與右極限，自變量趨于正或負(fù)無(wú)限大時(shí)函數(shù)的極限)，函數(shù)的單側(cè)上、下極限，無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較，極限的性質(zhì)，極限存在的兩個(gè)判別準(zhǔn)則: 柯西(Cauchy)準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則, 兩個(gè)重要極限，致密性定理，聚點(diǎn)定理，數(shù)列極限的施托爾茨(Stolz)定理，函數(shù)極限的海涅(Heine)定理，開(kāi)集、閉集和緊集，有限覆蓋定理.

考試要求：

1.掌握極限的概念(包括某一極限過(guò)程中數(shù)列或函數(shù)的收斂與發(fā)散)，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.

2.掌握極限的性質(zhì)(有界性、唯一性、保號(hào)性、算術(shù)性質(zhì)、保序性、夾逼性質(zhì)等).

3.掌握極限存在的柯西準(zhǔn)則，并會(huì)利用它判斷極限的存在與否.

4.掌握極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則，能夠用其判斷數(shù)列收斂或在某一極限過(guò)程中函數(shù)收斂，并在可能的情況下求出極限.

5.掌握致密性定理(有界數(shù)列必有收斂子列)，聚點(diǎn)定理(有界無(wú)窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)).

6.掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法，會(huì)用施托爾茨定理求極限.

7.掌握無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限.

8.掌握函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型.

9.掌握海涅定理并會(huì)利用它判斷極限的存在與否.

10.理解開(kāi)集、閉集的概念和性質(zhì)，掌握緊集與開(kāi)覆蓋的概念、有限覆蓋定理.

三、一元函數(shù)的連續(xù)

考試內(nèi)容：函數(shù)連續(xù)的概念和性質(zhì)，函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

考試要求：

1.理解連續(xù)函數(shù)的概念、性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等),并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).

2.理解連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性概念,掌握有界閉區(qū)間上的海涅-康托爾(Heine-Cantor)一致連續(xù)定理.

四、一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)和微分的概念和關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，微分的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)，萊布尼茲求導(dǎo)公式，一階微分形式的不變性，微分中值定理，泰勒(Taylor)公式，洛必達(dá)(L'Hospital)法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)的最大值和最小值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(xiàn)，函數(shù)圖形的描繪，插值多項(xiàng)式和方程近似求根.

考試要求：

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分.

3.理解高階導(dǎo)數(shù)的概念、萊布尼茲求導(dǎo)公式，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

4.會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

5.掌握羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、達(dá)布導(dǎo)函數(shù)介值定理和泰勒(Taylor)定理(帶幾種余項(xiàng)的).

6.掌握洛必達(dá)法則以及用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用.

8.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線(xiàn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖形.

9.理解插值多項(xiàng)式和方程近似求根.

五、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容：原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本函數(shù)的積分公式,定積分(指黎曼積分)的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上、下限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，黎曼可積的判別準(zhǔn)則，牛頓一萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分，反常(廣義)積分，定積分的應(yīng)用.

考試要求：

1.理解原函數(shù)的概念，掌握不定積分和定積分的概念.掌握函數(shù)是黎曼可積的必要條件，掌握函數(shù)黎曼可積的判別準(zhǔn)則.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.

4.理解積分變上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式.理解定積分的近似計(jì)算.

5.理解反常積分的概念和性質(zhì)，掌握判斷廣義積分收斂與否的方法，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的廣義積分.

6.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積,及功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值.

六、無(wú)窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容:(一)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與，p級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂.(二)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：收斂域、和函數(shù)、一致收斂概念，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法、和函數(shù)的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性和可積性;逐項(xiàng)求極限、求微分和逐項(xiàng)求積分),(三)冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開(kāi)區(qū)間)和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.(四)三角級(jí)數(shù)與函數(shù)的傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)：2л-周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)，黎曼引理，貝塞爾不等式，傅里葉級(jí)數(shù)收斂的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷(Dirichlet)判別法，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，2l(l>0)-周期函數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).

考試要求：

1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.

2.掌握幾何級(jí)數(shù)與\,$p$級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.

3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的柯西判別準(zhǔn)則、比較判別法、比值判別法、根值判別法、拉比(Raabe)判別法、積分判別法等.

4.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.

5.掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念、絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積.

6.掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

7.理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念及性質(zhì).

8.掌握判別函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂與否的方法(柯西準(zhǔn)則、優(yōu)級(jí)數(shù)判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法和迪尼判別法等)，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì).

9.理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

10.理解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

11.理解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件.

12.掌握幾個(gè)基本初等函數(shù)ex,ln(1+x),sinx,cosx,(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).

13.理解正交函數(shù)系、傅里葉系數(shù)及傅里葉級(jí)數(shù)的概念.掌握黎曼引理，局部化定理，貝塞爾不等式.掌握傅里葉級(jí)數(shù)的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷判別法及收斂定理.

14.會(huì)將定義在閉區(qū)間[-l,l)上的黎曼可積函數(shù)延拓成周期為2l的函數(shù)并展開(kāi)其傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0,l)上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式.

七、多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，多元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，多元函數(shù)極限存在與否的判斷，二元函數(shù)的累次極限，有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分、二階乃至更高階偏導(dǎo)數(shù)，全微分存在的必要條件和充分條件，隱函數(shù)存在定理，反函數(shù)存在定理，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、二階導(dǎo)數(shù)，方向?qū)��?shù)和梯度，空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面，曲面的切平面和法線(xiàn)，二元函數(shù)的二階泰勒公式，多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

考試要求：

1.理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.

2.理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

3.理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，理解全微分存在的必要條件和充分條件，理解全微分形式的不變性.

4.理解方向?qū)��?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法.

5.掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，以及一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的求法.

6.理解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)以及一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).

7.理解空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面及曲面的切平面和法線(xiàn)的概念，會(huì)求它們的方程.

8.理解多元函數(shù)的泰勒公式.

9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，理解多元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求簡(jiǎn)單的多元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

八、含參變量的廣義積分

考試內(nèi)容：含參變量的廣義積分的概念，含參變量的廣義積分一致收斂的概念，含參變量的廣義積分的分析性質(zhì)，一些含參變量的廣義積分的計(jì)算.伽瑪(Gamma)函數(shù),貝塔(Beta)函數(shù).

考試要求：

1.掌握常義含參變積分的概念、基本性質(zhì)和定理.

2.理解含參變量廣義積分收斂、一致收斂的概念，掌握含參量廣義積分的魏爾斯特拉斯判別法、柯西準(zhǔn)則、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法及迪尼判別法.

3.掌握含參變量的廣義積分的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性和可積性)的定理.

4.掌握一些廣義積分及含參量廣義積分的計(jì)算.理解含參量廣義積分概念和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念之間的關(guān)系.

5.理解伽瑪函數(shù)、貝塔函數(shù)及其性質(zhì)和關(guān)系,理解斯特林公式.

九、多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容：二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用,兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的關(guān)系，格林(Green)公式,平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，二元函數(shù)全微分的原函數(shù)，兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系，高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式,散度、旋度的概念及計(jì)算,曲線(xiàn)積分和曲面積分的應(yīng)用.

考試要求：

1.理解重積分的概念、性質(zhì).

2.掌握二、三重積分的計(jì)算方法，特別是積分變換(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)以及其他簡(jiǎn)單的變換),會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的重?cái)?shù)高于三的重積分.

3.掌握兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念、性質(zhì)及兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系.

4.掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的方法.

5.掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù).掌握斯托克斯公式并會(huì)運(yùn)用其計(jì)算曲線(xiàn)積分,會(huì)運(yùn)用曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件求三元函數(shù)全微分的原函數(shù).

6.理解兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類(lèi)曲面積分的方法，掌握高斯公式并會(huì)運(yùn)用其計(jì)算曲面積分的方法.

7.理解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算.

8.會(huì)用重積分、曲線(xiàn)積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等).