南京航空航天大學

參考書目

數值分析：《數值分析》(第五版)李慶揚等編，清華大學出版社

常微分方程：《常微分方程》(第三版)王高雄編，高等教育出版社

數學綜合(數值分析和常微分方程各占1/2)

考試大綱

I. 數值分析

1)緒論

誤差的基本概念，穩定性，收斂性及相容性;

2)插值法

插值多項式的存在唯一性，拉格朗日插值、牛頓插值及三次樣條插值多項式;

3)函數逼近與計算

最佳一次逼近、最佳平方逼近多項式，曲線擬和的最小二乘法;

4)數值積分

梯形公式，辛普生公式，柯特斯公式及相應的復化求積公式，龍貝格公式;

5)方程求根

二分法，一般迭代法，牛頓迭代法，弦截法，迭代法的收斂性

6)線性方程組的求解方法

高斯(主元)消去法，向量和矩陣的范數，矩陣的條件數，誤差分析，雅克比迭代法，高斯-塞德爾迭代法，迭代法的收斂性;

7)常微分方程的數值解法

改進的歐拉公式，龍格-庫塔公式及二階龍格-庫塔公式精度分析，單步法的收斂性和穩定性。

II. 常微分方程

《常微分方程》是數學專業的基礎課，也是常微分方程學科本身近現代發展方向的基礎。考試以經典傳統內容為主要部分，也包括穩定性理論問題中的重要內容。

具體涉及

1)一階常微分方程的初等解法：分離變量法;常數變易法;積分因子法等。

2)一階常微分方程解的存在唯一性定理，近似計算和誤差估計等。

3)高階常微分方程：常系數微分方程的解法;非齊次線性微分方程拉普拉斯法，高階微分方程的降階解法等。

4)線性常微分方程組：線性微分方程組的存在唯一性定理;常系數線性微分方程組的求解等。

5)非線性常微分方程和穩定性：穩定性的基本概念;相平面;非線性微分方程組的穩定性與其線性近似方程組;李雅普諾夫第二方法等