北京師范大學

812 專業綜合碩士研究生招生考試大綱

高等代數(分值：85)

參考書：

《代數學基礎》(上)，張英伯，王愷順，北京師范大學出版社;

《高等代數學》第三版，姚慕生，吳泉水，謝啟鴻。

一、總體要求

1.掌握基本的代數運算方法,包括：行列式的計算，矩陣運算(乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量)，線性方程組解的判定及求解，多項式運算(帶余除法，輾轉相除法).

2.掌握基本的代數分析技巧，包括：向量的線性相關和線性無關性，向量空間的基與維數，線性方程組解的結構,線性變換和矩陣的關系，方陣可相似對角化的判定,對稱矩陣與二次型，多項式的整除性及因式分解.

3.掌握代數的基本幾何背景，理解代數與幾何的關系，包括：歐氏空間與酉空間，正交變換與正交矩陣, 酉變換與酉矩陣，對稱變換與對稱矩陣, 實對稱矩陣的正交相似對角化，最小二乘解，對偶空間與雙線性函數.

二、考試內容

第一部分 多項式

1.數域, 一元多項式的定義和基本運算;

2.多項式的帶余除法，多項式整除性理論;

3.多項式的最大公因式，輾轉相除法;

4.不可約多項式，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式;

5.多項式函數與多項式的根;

6.代數基本定理，復數域和實數域上多項式;

7.有理數域和整數環上的多項式，Eisenstein判別法;

8.多元多項式的概念及字典排列法，對稱多項式及其基本定理.

第二部分 行列式

1.排列、n階行列式的定義;

2.n階行列式的性質和基本計算;

3.代數余子式、行列式按一行(列)展開;

4.克萊姆法則;

5.Laplace定理.

第三部分 線性方程組

1.線性方程組求解的消元法;

2.矩陣的秩，用矩陣的初等變換求秩;

3.線性方程組可解的判別法;

4.兩個多項式的結式和多項式的判別式.

第四部分 矩陣

1.矩陣的線性運算、乘法及轉置;

2.矩陣可逆的判定條件及性質，用初等變換求可逆矩陣的逆;

3.矩陣乘積的行列式與秩;

4.矩陣的分塊及其運算技巧.

第五部分 向量空間

1.向量空間的定義和例子;

2.向量組的線性相關和線性無關性，向量組的極大無關組;

3.向量空間的基與維數，過渡矩陣及坐標變換公式;

4.子空間、子空間的交與和;

5.向量空間的同構及其性質;

6.矩陣的行秩和列秩，齊次線性方程組的解空間與基礎解系.

第六部分 線性變換

1.線性映射和線性變換的定義及例子;

2.線性變換的運算和矩陣的關系;

3.線性變換的不變子空間及其性質;

4.方陣的特征值和特征向量;

5.可以對角化的矩陣;

6.極小多項式與Cayley-Hamilton定理;

7.向量空間的準素分解，矩陣的Jordan標準形;

8.矩陣的有理標準形.

第七部分 歐氏空間和酉空間

1.向量的內積和歐氏空間的定義;

2.規范正交基，Schmidt正交化方法;

3.正交變換與正交矩陣;

4.對稱變換與對稱矩陣，實對稱矩陣的正交相似對角化;

5.向量到子空間的距離，最小二乘解;

6.酉空間與酉變換.

第八部分 二次型

1.二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關系;

2.復數域上的二次型及其典范形;

3.實數域上的二次型，慣性定律;

4.正定二次型與正定矩陣，實對稱矩陣正定的判定條件.

第九部分 雙線性函數

1.線性函數與對偶空間;

2.雙線性函數及其度量矩陣;

3.對稱雙線性函數，反對稱雙線性函數.

空間解析幾何(分值：65分)

參考書：

1.空間解析幾何(第四版)，高紅鑄，王敬庚，傅若男，北京師范大學出版社

2.解析幾何，尤承業，北京大學出版社

3.解析幾何(第三版)，丘維聲，北京大學出版社

一、向量代數

考試內容

向量及其線性運算，向量的內積、外積、混合積、雙重外積。

考試要求

1、熟練進行向量的線性運算，會用線性運算處理共線、共面問題，掌握定比分點的公式和應用。

2、利用內積處理長度、夾角、垂直等有關問題。

3、利用外積處理面積、夾角、平行等有關問題。

4、利用混合積處理體積、共面等有關問題。

二、平面與直線

考試內容

坐標系與坐標系中的向量運算，空間中的平面方程，空間中的直線方程，平面與直線的有關問題，距離。

考試要求

1、在直角坐標系和仿射坐標系中熟練進行向量的線性運算，在右手直角坐標系中熟練進行向量的內積、外積、混合積等運算，掌握坐標系中距離、夾角、定比分點等的計算和應用。

2、掌握空間中平面的點法式方程、三點式方程、截距式方程，判斷兩平面的位置關系，會求兩平面的夾角。

3、掌握空間中直線的點向式方程、兩點式方程、參數方程和普通式方程，會求兩條直線的夾角。

4、會判斷平面與直線的位置關系，判斷兩條直線是否共面。

5、會計算點到平面的距離、點到直線的距離、異面直線的距離，會求異面直線的公垂線方程。

三、特殊曲面和二次曲面

考試內容

球面、圓柱面和圓錐面方程，柱面、錐面及旋轉面方程，空間曲線和曲面的參數方程，二次曲面，單葉雙曲面和雙曲拋物面的直紋性。

考試要求

1、掌握球面、圓柱面和圓錐面方程的求法。

2、掌握柱面、錐面及旋轉面方程的特點。特別是直母線是坐標軸時柱面的特點、頂點是坐標原點時錐面的特點、旋轉軸是坐標軸時旋轉面方程的特點。

3、知道代表性空間曲線(如直線、圓周、圓柱螺線等)的參數方程，代表性空間曲面(如平面、球面、旋轉面等)的參數方程，知道球面坐標、柱面坐標和直角坐標的關系。

4、知道各種二次曲面的類型和標準方程，會判斷一個二次方程代表哪種類型的二次曲面。

5、能寫出單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線方程。

四、坐標變換與一般二次曲線(面)的討論

考試內容

坐標變換，一般二次曲線方程和二次曲面方程的化簡，二次曲線的不變量及類型判別，二次曲線的切線、法線和對稱性。

考試要求

1、理解坐標變換的過渡矩陣的性質，掌握坐標變換公式及其應用。

2、掌握用坐標變換化簡二次曲線方程和二次曲面方程的一般方法。

3、掌握用不變量判斷二次曲線類型的方法以及用不變量給出標準方程的方法。

4.、會求二次曲線的切線、法線和對稱軸、對稱中心。