長沙理工大學

科目代碼：F1001 科目名稱：實變函數

一、考試要求

主要考察考生是否掌握了實變函數的基本概念、基本理論和基本方法，包括集合的勢與對等、Borel集類、Lebesgue測度、可測函數、可測函數的收斂、Lebesgue積分等的基本概念;集合序列的上下限集、可測集經交并差運算、Lebesgue積分等的計算方法，Cantor 集的構造、可測函數“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”之間的關系，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測函數積分的性質。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關系，Lebesgue積分的極限定理等;以及是否具備運用基本理論和基本方法，分析解決問題的能力。

二、考試內容

1、集合的基本運算;集合序列的上、下限集。集合的勢的定義，勢的性質，勢的比較。常見集合的勢及其基本性質;

2、n維空間中集合的內點、邊界點、聚點、開集、閉集等概念，明確開集的構造.理解完備集的概念,特別要掌握Cantor 集;

3、外測度概念，外測度與體積的關系，可測集的定義及其性質，包括可測集經交、并、差運算后的可測性，可數個可測集的交集或并集的可測性、可數可加性以及可測集序列的極限之可測性。Borel集類;Lebesgue可測集的結構;

4、可測函數的概念,可測函數的特征性質,簡單函數的有關性質。掌握“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”的概念和它們之間的關系;

5、一般可測函數積分的定義，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測函數積分的性質。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關系。Lebesgue積分的極限定理，包括Levi定理、Fatou引理、 Lebesue控制收斂定理及其應用，Riemann可積的充要條件。掌握L 積分的概念,理解L 積分和R 積分的關系.掌握L 積分的性質,對有關L 積分的三個極限定理及其應用。

三、題型

試卷滿分為100分，其中：判斷題占30%，計算分析題占20%，證明題占50%。

四、參考教材

1.《實變函數與泛函分析基礎》(第三版).程其襄等.高等教育出版社，2010。

2.《實變函數與泛函分析概要》(第三版).鄭維行、王聲望主編.高等教育出版社，2005。