南方科技大學

從南方科技大學研究生招生網獲悉，南方科技大學2024級碩士研究生生入學考試大綱已發布，其中801線性代數考研大綱內容如下：

考試科目代碼：801 

考試科目名稱：線性代數

一、考試要求

1）要求考生熟練掌握線性代數的基本概念、基本理論和基本方法。

2）要求考生具有嚴格的數學論證能力、舉反例能力和基本計算能力。

3）要求考生具備應用線性代數解決實際問題能力。

二、考試內容

1）多項式

a.多項式無重因式的充要條件，復數域及實數域上多項式因式分解理論。

b.多項式的歐幾里得除法。

2)行列式

a.行列式的概念，行列式的子式，余子式及代數余子式的概念。

b.行列式的性質，按行、列展開定理，Cramer 法則，行列式乘法公式。

c.計算行列式的基本方法。

3）線性方程組

a.高斯消元法、初等變換求解線性方程組的方法。

b. 向量線性相關、線性無關，向量組等價，極大無關組，向量組的秩，矩陣的秩，基礎解系，解空間等概念。

c.線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結構。

4)矩陣

a.矩陣，對角矩陣、三角矩陣、對稱陣、反對稱陣的概念及其性質。

b.矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及它們的運算規律。

c.逆矩陣的概念，逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣的概念，伴隨矩陣的性質。

d.矩陣的初等變換，初等矩陣的性質，用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。e.分塊矩陣，分塊陣的運算及初等變換。

5）二次型

a.二次型的概念及二次型的矩陣表示，二次型秩的概念，二次型的標準形、規范形的概念及慣性定律。

b.用合同變換、正交變換化二次型為標準形的方法。

c.二次型和對應矩陣的正定、半正定、負定、半負定及其判別法。

6)線性空間

a.線性空間，子空間，生成子空間，基底，維數，坐標，過渡矩陣，子空間的和與直和等概念。線性空間同構的概念。

b.基擴張定理，維數公式，直和的充要條件。

7）線性變換

a.線性變換，特征值，特征向量，特征多項式，特征子空間，不變子空間，線性變 換的矩陣，相似變換，相似矩陣，線性變換的值域與核，Jordan 標準形，最小多項式等概念與計算。

b.線性變換的性質，相似矩陣的性質，核空間與值域的性質，不變子空間的性質。

Cayley-Hamilton 定理，廣義特征子空間直和分解，最小多項式理論。

c.線性變換的矩陣表示方法，線性變換的特征值、特征向量的方法，矩陣可相似對角化的條件與方法，線性變換與矩陣“互化 ”的思想方法。

8)歐幾里得空間

a. 內積，歐氏空間，向量長度、夾角、距離，度量矩陣，標準正交基、正交補，正交變換，正交陣，對稱變換，同構等概念。

b.Schmidt 正交化方法，標準正交基的性質，正交變換的性質，正交陣的性質，對稱變換的性質及標準形。

c.實對稱陣的特征值、特征向量的性質，用正交相似變換將實對稱陣相似（合同）對角化。

d. 向量到子空間的距離和最小二乘法。

e.酉空間的概念和基本性質。

三、考試時間：180 分鐘，滿分：150 分

四、參考書目

《高等代數》，北大數學系幾何與代數教研室，高等教育出版社，2013 年，第四版。