上海海事大學

上海海事大學研究生入學考試考試大綱

考試科目：831高等代數

參考書：北京大學編《高等代數》(第三版，王萼芳、石生明修訂)，高等教育出版社

題型及分數比例共計150分

填空題、選擇題共60分;計算題70分;證明題20

考試大綱：

全面系統地理解高等代數中的基本概念、基本原理和基本方法，熟悉多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換和歐氏空間等主要內容，具備較強的抽象思維和邏輯推理能力，總體達到高等學校優秀本科畢業生“及格”以上水平。

考試大綱：

第一章 多項式

1、多項式的整除性，帶余除法;

2、多項式的因式分解，最大公因式和重因式;

3、不可約多項式的判定和性質;

4、多項式函數和多項式的根;

5、實數域、復數域和有理數域上的多項式。

第二章 行列式

1、行列式的性質和計算;

2、范德蒙行列式、常用計算技巧;

3、行列式按行按列展開、拉普拉斯展開;

4、克萊姆法則。

第三章 矩陣

1、矩陣運算;2、初等矩陣與初等變換;3、可逆矩陣;4、分塊矩陣;5、矩陣的秩;6、矩陣乘積的秩和行列式;

7、矩陣的等價，合同，相似，正交相似;8、矩陣的特征根和特征向量，矩陣的對解化。

第四章 線性方程組

1、線性方程組的求解和討論;2、線性方程組有解判別定理;3、線性方程組的解結構及其解空間的討論。

第五章 二次型

1、二次型的標準形與合同變換;2、復數域和實數域上二次型的標準形，規范型;3、正定二次型及其討論。

第六章 線性空間

1、線性空間的定義和性質;2、向量的線性相關性、極大線性無關組;3、基，維數和坐標;4、基變換和坐標變換;

5、線性子空間;6、子空間的交與和、直和。

第七章 線性變換

1、線性變換的概念和性質;2、線性變換的運算;3、線性變換的矩陣;4、線性變換的值域和核;

5、線性變換(矩陣)的特征多項式，特征值與特征向量;6、不變子空間。

第八章 歐氏空間

1、向量內積的定義和性質;

2、標準正交基(組)和度量矩陣;

3、正交變換和正交矩陣;

4、對稱變換、實對稱矩陣的標準形。