天津工業大學

天津工業大學碩士研究生入學考試大綱(高等代數)

一. 多項式理論

一元多項式的概念、運算及帶余除法,多項式的整除,最大公因式,多項式的互素,不可約多項式,多項式因式分解問題的理論,多項式的重因式,多項式函數及多項式根,有理系數多項式的有理根。

二. 行列式

掌握n階行列式的概念與性質;會運用行列式性質，通過降階和三角化的方法及其綜合使用，較熟練地計算行列式;掌握克萊姆法則。

三. 線性方程組

用矩陣的初等變換解一般線性方程組,矩陣的秩,線性方程組有解的判別定理及其應用,n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件,基礎解系,一般線性方程組通解。

四. 矩陣

矩陣運算,逆矩陣,矩陣乘積的行列式及秩的定理,初等矩陣，初等矩陣與初等變換的的關系，用初等變換求逆矩陣的理論與方法。

五. 二次型

掌握二次型的概念，矩陣的合同概念及其性質;掌握將二次型化為標準形的方法;掌握復數域與實數域上二次型的規范形;熟練掌握正定二次型的概念和判別法。

六. 向量空間

掌握向量空間的概念，向量空間的子空間，子空間的交與和，子空間的直和，向量組的線性相關性，向量空間中基與維數，向量坐標，過渡矩陣，向量空間同構，線性方程組的有解判定定理、矩陣的秩，熟練掌握齊次線性方程組的基礎解系的概念與求法，以及一般線性方程組解的結構。

七. 線性變換

線性變換的概念，線性變換的矩陣，矩陣的相似、特征值、特征向量，線性變換的值域與核，不變子空間，矩陣可對角化的理論與方法,最小多項式。

八. 歐氏空間

兩個向量的內積,歐氏空間,向量的長度、兩個向量的夾角,度量矩陣,標準正交基,正交變換和正交矩陣,對稱變換與對稱矩陣。

主要參考書：北京大學，高等代數(第三版)2005年