海南師范大學

從海南師范大學研究生院獲悉，2022年海南師范大學808高等代數考研大綱及參考書目內容如下

海南師范大學全國碩士研究生招生自命題考試大綱

考試科目代碼：[808]              考試科目名稱：高等代數

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主要參考書目

1. 北京大學數學系前代數小組編. 高等代數.高等教育出版社，2019年5月（第五版）。

一、考試形式與試卷結構

（一）試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。

（三）試卷結構

計算題；證明題；綜合題等

二、考試目標：

1.掌握高等代數的基本概念和基礎知識。

2.理解高等代數的基本理論和基本方法。

3.運用高等代數的理論和方法分析、解決相關的實際問題。

三、考試范圍：

第一章、一元多項式

1.考試內容：數域；一元多項式；整除的概念；最大公因式；；因式分解定理；重因式；多項式函數；復系數與實系數多項式的因式分解；有理系數多項式。

2.考試要求

（1） 掌握數域的定義,并會判斷一個代數系統是否是數域。

（2） 正確理解數域P上一元多項式的定義,多項式相乘,次數,一元多項式環等概念。掌握多項式的運算及運算律。

（3）正確理解整除的定義,熟練掌握帶余除法及整除的性質。

（4）正確理解和掌握兩個(或若干個)多項式的最大公因式,互素等概念及性質。能用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式。

（5）正確理解和掌握不可約多項式的定義及性質。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握標準分解式。

（6）正確理解和掌握k重因式的定義。

（7）掌握多項式函數的概念,余數定理,多項式的根及性質。正確理解多項式與多項式函數的關系。

（8）理解代數基本定理。熟練掌握復（實）系數多項式分解定理及標準分解式。

（9）深刻理解有理系數多項式的分解與整系數多項式分解的關系。掌握本原多項式的定義、高斯引理、整系數多項式的有理根的性質、Eisenstein判別法。

3.重點、難點

重點：整除概念、帶余除法及整除的性質、最大公因式、互素、輾轉相除法、不可約多項式概念、性質、因式分解及唯一性定理、k重因式與k重根的關系、復（實）系數多項式分解定理、本原多項式、Eisenstein判別法。

難點: 整除理論；多項式的因式分解理論。

第二章、行列式

1.考試內容：排列；n級行列式；n級行列式的性質；行列式的計算；行列式按一行（列）展開；克蘭姆法則。

2.考試要求

（1）理解并掌握排列、逆序、逆序數、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對換的關系。

（2）深刻理解和掌握n級行列式的定義,能用定義計算一些特殊行列式。

（3）熟練掌握行列式的基本性質。

（4）正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質計算一些簡單行列式。

（5）正確理解元素的余子式、代數余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握“化三角形法”，“遞推降階法”，“數學歸納法”等計算行列式的技巧。

（6）熟練掌握克萊姆(Cramer)法則。

3.重點、難點

重點：n級行列式的定義、行列式的基本性質、矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換、行列式按一行（列）展開的公式、克萊姆(Cramer)法則。

難點：行列式的計算。

第三章、線性方程組

1.考試內容：消元法；n維向量組；線性相關性；矩陣的秩；線性方程組有解判別定理；線性方程組解的結構。

2.考試要求

（1）正確理解和掌握一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質。掌握階梯形方程組的特征及作用。會求線性方程組的一般解。

（2）理解和掌握n維向量及兩個n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運算。深刻理解n維向量空間的概念。

（3）正確理解和掌握線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質。掌握兩個向量組等價的定義及等價性質定理。深刻理解向量組的極大無關組、秩的定義，會求向量組的一個極大無關組。

（4）深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩、秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關系。

（5）熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。

（6）正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎解系,解空間的維數與概念。熟練掌握基礎解系的求法、線性方程組的結構定理。會求一般線性方程組有解的全部解。

3.重點、難點

重點：線性方程組的初等變換、求線性方程組的一般解、n維向量、線性組合、線性相關、線性無關、兩個向量組等價、極大無關組、向量組的秩、求向量組的一個極大無關組、矩陣的秩、線性方程組的有解判別定理、線性方程組的公式解、齊次線性方程組的基礎解系、基礎解系的求法、線性方程組的結構定理、求一般線性方程組有解的全部解。

難點：線性相關性。

第四章、矩陣

1.考試內容：矩陣的概念；矩陣的運算；矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆；矩陣的分塊；初等矩陣；分塊矩陣的初等變換。

2.考試要求

(1) 了解矩陣概念產生的背景。

(2) 掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律。

(3) 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。

(4) 正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個n級方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣。

(5) 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質。

(6) 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及其它們之間的關系，熟練掌握一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件；會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣。

(7) 理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系，會求分塊矩陣的逆。

3.重點、難點

重點：矩陣的運算、矩陣乘積的行列式定理、矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系、可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、n階方陣可逆的充要條件、用公式法求逆矩陣、分塊矩陣的意義及運算、初等矩陣、用初等變換的方法逆矩陣、分塊矩陣的逆。

難點：可逆矩陣及求逆矩陣。

第五章、二次型

1.考試內容：二次型的矩陣表示；標準形；唯一性；正定二次型。

2.考試要求

(1)　正確理解二次形和非退化線性替換的概念；掌握二次型的矩陣表示及二次型與對稱矩陣的一一對應關系；掌握矩陣的合同概念及性質。

(2)　理解二次型的標準形，掌握化二次型為標準型的方法（配方法、初等變換法）。

(3) 正確理解復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性；掌握慣性定理。

(4) 正確理解正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念；熟練掌握正定二次型及半正定二次型的等價條件。

3.重點、難點

重點：非退化線性替換、二次型的矩陣、二次型與其矩陣的一一對應關系、矩陣的合同、化二次型為標準型、復數域和實數域上二次型的規范形的唯一性、慣性定理、正定二次型的判別條件、半正定二次型的等價條件。

難點：實數域上二次型的規范形及正定二次型。

第六章、線性空間

1.考試內容：集合與映射；線性空間的定義與簡單性質；維數，基與坐標；基變換與坐標變換；線性子空間；子空間的交與和；子空間的直和；線性空間的同構。

2.考試要求

(1)　掌握映射、單射、滿射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。

(2)　正確理解和掌握線性空間的定義及性質；會判斷一個代數系統是否是線性空間。

(3)　理解線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念；正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質。

(4)　正確理解和掌握基變換與坐標變換的關系。

(5)　正確理解線性子空間的定義及判別定理；掌握向量組生成子空間的定義及等價條件。

(6)　掌握子空間的交與和的定義及性質；熟練掌握維數公式。

(7)　深刻理解子空間的直和的概念及和為直和的充要條件。

(8)　理解和掌握線性空間同構的定義、性質及兩個有限維空間同構的充要條件。

3.重點、難點

重點：線性空間、判斷一個代數系統是否是線性空間、n維線性空間的概念及性質、基變換與坐標變換的關系、線性子空間的定義及判別定理、向量組生成子空間的定義及等價條件、子空間的交與和、維數公式、子空間的直和、線性空間同構的定義、性質及兩個有限維空間同構的充要條件。

難點：線性空間的概念；子空間的直和。

第七章、線性變換

1.考試內容：線性變換的定義；線性變換的運算；線性變換的矩陣；特征值與特征向量；對角矩陣；線性變換的值域與核；不變子空間； 最小多項式。

2.考試要求

(1)　理解和掌握線性變換的定義及性質。

(2)　掌握線性變換的運算及運算規律，理解線性變換的多項式。

(3)　深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯系；掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質。

(4)　理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質；會求一個矩陣的特征值和特征向量；掌握相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈密爾頓-凱萊定理。

(5)　掌握n 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件。

(6)　掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系。

(7)　掌握不變子空間的定義；會判定一個子空間是否是A-子空間；深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系。

(8)　正確理解最小多項式的概念；掌握一個矩陣相似于一個對角陣與它的最小多項式的關系。

3.重點、難點

重點：線性變換的定義及性質、線性變換的運算、線性變換與矩陣的聯系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量、特征多項式、求矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣與它們的特征多項式的關系、哈密爾頓-凱萊定理、線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件、線性變換的值域、核、秩、零度、線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系、不變子空間的定義、判定一個子空間是否是A-子空間、不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系、最小多項式。

難點：特征值和特征向量；線性變換的值域、核；不變子空間與線性變換矩陣化簡。

第八章、歐幾里得空間

1.考試內容：定義與基本概念；標準正交基；同構；正交變換；子空間；實對稱矩陣的標準形；向量到子空間的距離。

2.考試要求

 (1)　深刻理解歐氏空間的定義及性質；掌握向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質，使學生掌握各種概念之間的聯系和區別。

(2)　正確理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關的向量化為單位正交的向量。

(3)　深刻理解兩個歐氏空間同構的定義。掌握兩個歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系。

(4) 正確理解和掌握正交變換的概念及幾個等價關系，讓學生掌握正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系。

(5)　正確理解和掌握兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系，及歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。

(6) 深刻理解并掌握任一個對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實二次型為標準形。

3.重點、難點

重點：歐氏空間的定義及性質，向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質，正交向量組、標準正交基的概念，施密特正交化，歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系，正交變換的概念及幾個等價關系，實對稱矩陣的標準形，用正交變換化實二次型為標準形。   

難點：施密特正交化；正交變換。

四、主要參考書目

1. 北京大學數學系前代數小組編. 高等代數.高等教育出版社，2019年5月（第五版）。

原文鏈接 http://yjsc.hainnu.edu.cn/html/2022/gongzuoxinxi_0708/9348.html