2018考研數學線性代數：向量與線性方程組部分復習指導

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向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。

這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯系。

(1)齊次線性方程組與向量線性相關、無關的聯系 齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解;②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關、無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯系——齊次線性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關、無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。

(2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯系同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”。經過 “秩→線性相關、無關→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量(基礎解系)線性表示。

(3)非齊次線性方程組與線性表出的聯系 非齊次線性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數就是非齊次線性方程組的解。