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考研指導(dǎo)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)十問

1. 概率的公式、概念比較多，怎么記？

答：我們看這樣一個(gè)模型，這是概率里經(jīng)常見到的，從實(shí)際產(chǎn)品里面我們每次取一個(gè)產(chǎn)品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽簽抓鬮的模型。現(xiàn)在我說四句話，大家看看有什么不同，第一句話“求一下第三次取到十件產(chǎn)品有七件正品三件次品，我們每次取一件，取后不放回”，下面我們來求四個(gè)類型，第一問我們求第三次取得次品的概率。第二問我們求第三次才取得次品的概率。第三問已知前兩次沒有取得次品第三次取到次品。第四問不超過三次取到次品。大家看到這四問的話我想是容易糊涂的，這是四個(gè)完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生認(rèn)為有的就是一個(gè)類型，但實(shí)際上是不一樣的。

先看第一個(gè)“第三次取得次品”，這個(gè)概率與前面取得什么和后面取得什么都沒有關(guān)系，所以這個(gè)我們叫絕對(duì)概率。第一個(gè)概率我想很多考生都知道，這個(gè)概率應(yīng)該是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出來都是十分之三。這個(gè)概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是說這個(gè)概率與次數(shù)是沒有關(guān)系的。所以在這里我們可以看出，日常生活中抽簽、抓鬮從數(shù)學(xué)上來說是公平的。

拿這個(gè)模型來說，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我們?cè)倏纯吹诙䝼€(gè)概率，第三次才取到次品的概率，這個(gè)事件描述的是績(jī)事件，這是概率里重要的概念，改變表示同時(shí)發(fā)生的概率。但是這個(gè)與第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以這樣表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。

如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC績(jī)事件發(fā)生的概率。第三問表示條件概率，已知前兩次沒有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三問求的就是一個(gè)條件概率。我們看第四問，不超過三次取得次品，這是一個(gè)和事件的概率，就是P(A＋B＋C)。從這個(gè)例子大家可以看出，概率論確實(shí)對(duì)題意的理解非常重要，要把握準(zhǔn)確，否則就得不到準(zhǔn)確的答案。

2. 概率的數(shù)理統(tǒng)計(jì)要怎么復(fù)習(xí)？什么叫幾何型概率？

答：幾何型概率原則上只有理工科考，是數(shù)學(xué)一考察的對(duì)象，最近兩年經(jīng)濟(jì)類的大綱也加進(jìn)來了，但還沒有考過，數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四的話雖然明確寫在大綱里，還沒有考。明年是否可能考呢？幾何概率是一個(gè)考點(diǎn)，但不是一個(gè)考察的重點(diǎn)。我個(gè)人認(rèn)為一是它考的可能性很小，如果考也是考一個(gè)小題，或者是選擇題或者是填空題或者在大題里運(yùn)用一下概率的模式，就是一個(gè)事件發(fā)生的概率是等于這個(gè)事件的度量或者整個(gè)樣本空間度量的比。這個(gè)度量的話指的是面積，一維空間指的是長(zhǎng)度，二維空間指的是面積，三維空間指的是體積。所以幾何概率指的是長(zhǎng)度的比、面積的比和體積的比。重點(diǎn)是面積的比，是二維的情況。

何概率其實(shí)很簡(jiǎn)單，是一個(gè)程序化的過程，按這四個(gè)步驟你肯定能做出來。第一步把樣本空間和讓你求概率的事件用幾何表示出來。第二步既然是幾何概率那就是圖形，第二步把幾何圖形畫出來。第三步你就把樣本空間和讓你求概率的事件所在的幾何圖形的度量，就是剛才所說的面積或者體積求出來。第三步代公式。以前考過的幾何概率的題度量的計(jì)算都是用初等的方法做，我推測(cè)下次考的話，可能會(huì)難一點(diǎn)的。比如說用意項(xiàng)，面積可能用到定積分或者重積分計(jì)算，把概率和高等數(shù)學(xué)聯(lián)系起來。

關(guān)于第二個(gè)問題，概率統(tǒng)計(jì)怎么復(fù)習(xí)，今年的考試分配很不正常，明年不會(huì)是這樣的情況。我想明年數(shù)學(xué)一(統(tǒng)計(jì))應(yīng)該考一個(gè)八、九分的題是比較適中的。從今年考試中心的樣題統(tǒng)計(jì)這一塊是九分。數(shù)學(xué)三(統(tǒng)計(jì))應(yīng)該八分左右，統(tǒng)計(jì)這一塊大家不要放棄，明年可能會(huì)考，分?jǐn)?shù)應(yīng)該是八、九分的題。至于復(fù)習(xí)，它的內(nèi)容占了四分之一的樣子。但是這一部分的題相對(duì)于概率題比較固定，做題的方法也比較固定，對(duì)考生來說比較好掌握，但這部分考生考得差，可能很多學(xué)校沒有開這門課，或者開的話講得比較簡(jiǎn)單，所以一些同學(xué)沒有達(dá)到考試的水平。其實(shí)這部分稍微花一點(diǎn)時(shí)間就可以掌握了。主要就是這幾塊內(nèi)容一是樣本與抽樣分布，就是三大分布搞清楚，把他們的結(jié)構(gòu)搞清楚，把統(tǒng)計(jì)上的分布搞清楚。

然后是參數(shù)估計(jì)、矩估計(jì)、最大似然估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、三種估計(jì)方法，三個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，無偏性、有效性、一致性，重點(diǎn)是無偏性的考查，因?yàn)樗瞧谕挠?jì)算，其次是有效性。一致性一般不會(huì)考，考的可能性很小。這三種估計(jì)方法重點(diǎn)也是前面兩種，矩估計(jì)、最大似然估計(jì)，區(qū)間做了限制，考了很少，歷年考試的情況也就是代代公式。

最后一部分是假設(shè)檢驗(yàn)這部分，這一部分我個(gè)人推測(cè)明年有可能考一個(gè)概念性的小題。一是了解U檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，把這三個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布搞清楚。另外假設(shè)檢驗(yàn)的思想和四個(gè)步驟了解一下就可以了。我想這部分考生少花一點(diǎn)時(shí)間，統(tǒng)計(jì)這個(gè)題是沒有問題的，重點(diǎn)就是參數(shù)估計(jì)，就是三種估計(jì)方法，三個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，重點(diǎn)在那個(gè)地方。

3. 我概率這塊掌握的不夠扎實(shí)，復(fù)習(xí)很困難，我應(yīng)該怎樣才能更好的復(fù)習(xí)概率這部分內(nèi)容？

答：概率這門學(xué)科與別的學(xué)科是不太一樣的，首先我建議這位同學(xué)你可以看一下教育部考試中心一本雜志，專門出了一個(gè)針對(duì)研究生考試的書，這個(gè)里面請(qǐng)我寫了一篇文章，里面我舉很多例子，你看了之后有一個(gè)詳細(xì)復(fù)習(xí)方法。概率這門學(xué)科與概率統(tǒng)計(jì)、微積分是不一樣的，它要求對(duì)基本概念、基本性質(zhì)的理解比較強(qiáng)，有個(gè)同學(xué)跟我說高等數(shù)學(xué)不存在把題看不懂的問題，但是概率統(tǒng)計(jì)的題尤其文字?jǐn)⑹龅臅r(shí)候看不懂題，從這個(gè)意義上來說同學(xué)平常復(fù)習(xí)時(shí)候，只要針對(duì)每一個(gè)基本概念，要把它準(zhǔn)確的理解，概念要理解準(zhǔn)確，通過例子理解概念，通過實(shí)際物體理解概念。例如：比如我們一個(gè)盒子一共有十件產(chǎn)品，其中三件次品，七件正品，我們做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，每次只取一件產(chǎn)品，取之后不再放回去，現(xiàn)在我提兩個(gè)問題：一個(gè)是第三次取的次品是什么事件，這個(gè)事件就是積事件，第一次沒有取到次品，第二次沒有取到次品，第三次是取到次品，求這么一個(gè)事件的概率，但是換一個(gè)問題，我說你求前面兩次沒有取到次品情況下，第三次取到次品的概率，這個(gè)就不是積事件了，我第二個(gè)問題是知道了前面兩次沒有取到次品，這個(gè)信息已經(jīng)知道了，然后問你第三次取到次品概率是多少，這是條件概率，這個(gè)信息已經(jīng)知道了，另外一個(gè)事件發(fā)生的概率，這叫條件概率，這是容易混淆的。還有絕對(duì)概率，拿我們剛才舉的例子來講，如果我讓你求第三次取到次品是什么概率，那是絕對(duì)事件的概率，這和前面兩個(gè)又不一樣。我舉這個(gè)例子提醒考生復(fù)習(xí)時(shí)候把這些基本概念搞清楚了，把公式把握了，這個(gè)就比較容易了。跟微積分比較起來這里沒有什么公式，公式很少。所以我們把基本概念弄清楚以后，計(jì)算的技巧比微積分少得多，所以有同學(xué)跟我說，他說概率統(tǒng)計(jì)這門課程要么就考高分，要么考低分，考中間分?jǐn)?shù)的人很少，這就說明了這種課程的特點(diǎn)。

4. 概率的公式非常難背，有什么好方法嗎？

答：背下來是基本的要求，概率的公式并不多，但是概率的公式和高等數(shù)學(xué)的公式相比，僅僅記住它是不夠的，比如給一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，你會(huì)做，因?yàn)槟阒朗乔髮?dǎo)數(shù)，概率問題，比如全概率公式，考試的時(shí)候從來沒有哪一年是請(qǐng)你用全概率公式求求某概率，所以從分析問題的層面來說概率的要求高一點(diǎn)，但是從計(jì)算技巧來說概率的技巧低一些，所以我建議大家結(jié)合實(shí)際的例子和模型記它。比如二向概率公式，你可以這么記它，記一個(gè)模型，把一枚硬幣重復(fù)拋N次，正面沖上的概率是多少呢？這個(gè)公式哪一個(gè)符號(hào)在實(shí)際問題里面是什么東西，這樣才是在理解的基礎(chǔ)上記憶，當(dāng)然就不容易忘記了。

5. 關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)先階段復(fù)習(xí)應(yīng)該抓哪些？

答：考試要注意，只有數(shù)學(xué)1和數(shù)學(xué)3的同學(xué)要考數(shù)理統(tǒng)計(jì)，按照以前考試數(shù)學(xué)1一般來說考三分之一分?jǐn)?shù)的題，數(shù)學(xué)3是四分之一，但是僅僅是一個(gè)很例外的情況，2003年數(shù)學(xué)1考了16分的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，但是今年沒有考這部分，今年考試這個(gè)地方的命題是有一點(diǎn)有失偏頗，我個(gè)人的看法為了避免這樣的情況，所以這個(gè)地方一定要看，一般要考8分左右的題是比較合適的，到底考什么，我可以把這個(gè)范圍縮的比較小，考這么幾種題型，第一個(gè)是求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征或者是統(tǒng)計(jì)量的分布，統(tǒng)計(jì)量大家知道就是樣本的函數(shù)，樣本就是X1X2-Xn，就是期望、方差、系方差，相關(guān)系數(shù)等等，求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征。第二個(gè)題型，統(tǒng)計(jì)量既然是隨機(jī)變量，當(dāng)然可以求統(tǒng)計(jì)量的分布，2001年數(shù)學(xué)3是考了，2002年數(shù)學(xué)3考了，所以這個(gè)地方也是重要的題型。其次第三種題型是參數(shù)估計(jì)，你要會(huì)求。要考你背兩到三個(gè)區(qū)間估計(jì)的公式就可以了，所以為什么這個(gè)地方考的次數(shù)最多，每一種方法你都要會(huì)做。第四種題型就是對(duì)估計(jì)量的好壞進(jìn)行評(píng)價(jià)，估計(jì)是無偏是有效的還是抑制的。2003年就考了一個(gè)大題。另外第五種題型就是假設(shè)間接這個(gè)地方，這么年以來只考過兩次，而且從99年以來練習(xí)五年這一章是沒有考，但是也正音連續(xù)五年沒有考，我個(gè)人估測(cè)2004年在這個(gè)上面考一個(gè)小題的可能是非常大的，我想同學(xué)們這部分花一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)間看一看它，可能考一個(gè)小題，考一個(gè)什么題，就是把統(tǒng)計(jì)量寫出來，你會(huì)不會(huì)把分布寫出來，以填空的方式。另外一種考法，它的只對(duì)什么進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)什么參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，你把統(tǒng)計(jì)參數(shù)寫出來。第三種方法，設(shè)計(jì)一個(gè)問題，把架設(shè)檢驗(yàn)的十個(gè)步驟做出來，第一個(gè)步驟是提出架設(shè)，第二步寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。這個(gè)部分也不會(huì)出一個(gè)大題，應(yīng)該是以小題的形式出現(xiàn)。

6. 會(huì)不會(huì)考極大自然估計(jì)量，我覺得那里面計(jì)算量比較大，一般不會(huì)考，不知道老師怎么感覺的？

答：對(duì)于數(shù)學(xué)一的考生或者數(shù)學(xué)三的考生來說，這個(gè)類型是考試的重點(diǎn)，每門課程重點(diǎn)有很多，不是每個(gè)重點(diǎn)都考，只要重點(diǎn)的地方考生不要投機(jī)取巧，比如參數(shù)估計(jì)，三種方法，那就是矩估計(jì)方法，極大似然估計(jì)方法，區(qū)間估計(jì)方法，這三種方法前兩者是重點(diǎn)。大家記幾個(gè)公式就可以了，2003年數(shù)學(xué)一考了區(qū)間估計(jì)的填空題。你對(duì)前面兩者要熟練掌握，前面兩種對(duì)整體沒有做限制，所以命題空間比較大。如果命題空間小考的可能性有很小。你四個(gè)步驟一定要掌握，剛才有網(wǎng)友說那個(gè)計(jì)算量太大，考試的題計(jì)算量不會(huì)太大。第一步一定要把函數(shù)會(huì)寫出來，數(shù)量函數(shù)有兩種：一個(gè)是總體是離散型的一個(gè)是連續(xù)型的，你都要會(huì)寫出來，離散型是指聯(lián)合分布率，連續(xù)型是聯(lián)合密度，因?yàn)檫@個(gè)聯(lián)合密度和聯(lián)合分布率都具有獨(dú)立性，都是等于邊緣密度的乘積，做任何一個(gè)，只要考這類型的題第一步少不了，你的問題屬于會(huì)把L似然函數(shù)寫出來，把L寫出來以后下面求L關(guān)于未知參數(shù)最大值點(diǎn)的問題，這是高等數(shù)學(xué)微積分里面最基本的問題，所以一般的話，我們先取對(duì)數(shù)，取對(duì)數(shù)以后令這個(gè)函數(shù)對(duì)未知參數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)或者導(dǎo)數(shù)等于零的解就是可能的極值點(diǎn)。當(dāng)然也可能出現(xiàn)這種情況，偏導(dǎo)數(shù)等于零的方程沒有解的情況，只考過一次，這個(gè)時(shí)候找未知參數(shù)的邊界點(diǎn)，取值范圍的定義域找到它，這個(gè)2000年考過一次，這個(gè)大家要注意，有解沒有解的都會(huì)做了你就不怕他考了。

7. 請(qǐng)老師講一下概率問題，概率重點(diǎn)應(yīng)該放在哪里？怎樣更好的得分？

答：這個(gè)可以看作我們概率一個(gè)基礎(chǔ)，我不知道這個(gè)網(wǎng)友是考數(shù)學(xué)幾，隨機(jī)變量分布這是一大塊內(nèi)容，基本每都年考一點(diǎn)，還有一個(gè)就是數(shù)理特征和數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本考一個(gè)大題，概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分如果從復(fù)習(xí)角度來看我們首先要理解概念，我認(rèn)為這里面有三個(gè)典型途徑：第一古典概率，一個(gè)概率的公式的推算，第二個(gè)途徑就是利用我們的分布信息來求概率，我們涉及到一維的也可以是二維的，即可以是離散型的也可以是連續(xù)型的，都有求概率的方法，我們討論概率統(tǒng)計(jì)里的問題，比如分布函數(shù)問題，本身就是求概率，你只要知道求概率統(tǒng)計(jì)三個(gè)途徑，所以我討論分布函數(shù)，由分布函數(shù)可以討論概率分布函數(shù)，源頭是分布函數(shù)，分布函數(shù)基礎(chǔ)是求概率，通過這個(gè)角度把握我認(rèn)為概率統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)不是你想象的那么復(fù)雜了。這里面重點(diǎn)的是二兩者，第一種古典概率考的是排列組合，這個(gè)是初中內(nèi)容，稍微難一點(diǎn)古典概率的題，同學(xué)沒有過多關(guān)心，不會(huì)從這個(gè)角度考的，而是根據(jù)我剛才的分析。所以把握這種思路以后，實(shí)際上概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)該把線性代數(shù)，特別比高等數(shù)學(xué)更好拿分。另外稍微應(yīng)該注意一下概率統(tǒng)計(jì)里面隨機(jī)事件和隨機(jī)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。我們可以通過隨機(jī)事件引進(jìn)隨機(jī)變量，反過來也可以，所以大家復(fù)習(xí)時(shí)候。討論隨機(jī)事件之間關(guān)系問題也可以借用隨機(jī)變量之間關(guān)系分析，這是概率統(tǒng)計(jì)方面大家應(yīng)該注意幾個(gè)比較典型的知識(shí)點(diǎn)。

8. 數(shù)學(xué)一概率和統(tǒng)計(jì)一般是怎樣的分值比例？重點(diǎn)分別是什么？

答：我們1997年實(shí)行新大綱以后，除了1997年沒有考，數(shù)學(xué)一從1998年到今年每一年都考到數(shù)理統(tǒng)計(jì)這塊內(nèi)容，也可以更多的情況下通過大題形式考，這里頭大家復(fù)習(xí)時(shí)候應(yīng)該稍微注意一下，數(shù)理統(tǒng)計(jì)它的公式特別多，但是本質(zhì)上全部概括起來，三個(gè)動(dòng)態(tài)總體的抽樣分布，當(dāng)總體方向是未知的時(shí)候，我們這幾年考題表面上考數(shù)理統(tǒng)計(jì)的問題，有相當(dāng)一部分考數(shù)理統(tǒng)計(jì)它在具體計(jì)算過程里頭的期望和方差的計(jì)算問題。所以經(jīng)常把數(shù)理統(tǒng)計(jì)和我們數(shù)字特征結(jié)合起來考，這種情況我認(rèn)為沒有必要過于區(qū)分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)占怎樣的分值比例，本身都是緊密相連的。

9. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中考試重點(diǎn)是什么？參數(shù)估計(jì)占多大比重？

答：參數(shù)估計(jì)這部分它占數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一多半內(nèi)容，參數(shù)估計(jì)這塊應(yīng)該是最重要的。統(tǒng)計(jì)里面第一章就是關(guān)于樣本還有統(tǒng)計(jì)量分布這部分，這部分就是求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征，統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)里面有什么題型？一個(gè)參數(shù)估計(jì)，一個(gè)求統(tǒng)計(jì)量數(shù)字特征或者求統(tǒng)計(jì)量的分布，統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，任何隨機(jī)變量都有分布。自然會(huì)有這樣的題型。求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征，求統(tǒng)計(jì)量的分布，然后參數(shù)估計(jì)，然后估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)。統(tǒng)計(jì)這個(gè)內(nèi)容對(duì)大家來說應(yīng)該是比較好掌握的，題型比較少，你比較好把這個(gè)題做好。

10.數(shù)一中假設(shè)檢驗(yàn)怎么考？參數(shù)估計(jì)中區(qū)間估計(jì)的公式是否都要記住？也就是統(tǒng)計(jì)量及其分布這些公式很復(fù)雜如何更好記憶，歷年考試出現(xiàn)的好象不是特別多，今年是否會(huì)有變化？

答：區(qū)間估計(jì)不是考試重點(diǎn)，屬于最低層次的，你只要知道兩到三個(gè)區(qū)間公式就可以了，以前只考過前面兩個(gè)，你多記一個(gè)留有一些余地，這個(gè)地方要求比較低，復(fù)雜的公式你不一定非得記住。