2018考研數(shù)學(xué)沖刺：求極限的16個(gè)方法

• 2025考研復(fù)試標(biāo)準(zhǔn)班
• 26考研全科上岸規(guī)劃營「擇校▪規(guī)劃▪備考」
• 2026考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

極限問題一直是考研數(shù)學(xué)中的考察重點(diǎn)，很多考研er在面對(duì)題型的變化時(shí)，會(huì)覺得有些無從下手，下面給大家盤點(diǎn)一下求極限的16個(gè)方法，讓你輕松應(yīng)對(duì)各種情況。

首先對(duì)極限的總結(jié)如下。極限的保號(hào)性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致。

1、極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限

(區(qū)別在于數(shù)列極限是發(fā)散的，是一般極限的一種)。

2、解決極限的方法如下

1)等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記。(x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮小)

2)洛必達(dá)法則(大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法)

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑是死路一條)必須是0比0，無窮大比無窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。

洛必達(dá)法則分為三種情況

1)0比0無窮比無窮時(shí)候直接用

2)0乘以無窮，無窮減去無窮(應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了

3)0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方

對(duì)于(指數(shù)冪數(shù))方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，ln(x)兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0,當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候ln(x)趨近于0)

3、泰勒公式

(含有e^x的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要特變注意!)e^x展開,sinx展開,cos展開,ln(1+x)展開對(duì)題目簡化有很好幫助

4、面對(duì)無窮大比上無窮大形式的解決辦法。

取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母!看上去復(fù)雜處理很簡單。

5、無窮小與有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了!

6、夾逼定理

(主要對(duì)付的是數(shù)列極限)這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用

(對(duì)付數(shù)列極限)(q絕對(duì)值符號(hào)要小于1)

8、各項(xiàng)的拆分相加

(來消掉中間的大多數(shù))(對(duì)付的還是數(shù)列極限)可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)。

9、求左右求極限的方式

(對(duì)付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，Xn的極限與Xn+1的極限是一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化。

10、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。

這兩個(gè)很重要!對(duì)第一個(gè)而言是x趨近0時(shí)候的sinx與x比值。第2個(gè)就如果x趨近無窮大無窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式(第二個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式)(當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用第二個(gè)重要極限)

11、還有個(gè)方法，非常方便的方法。

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候，不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的。x的x次方快于x!,快于指數(shù)函數(shù),快于冪數(shù)函數(shù),快于對(duì)數(shù)函數(shù)(畫圖也能看出速率的快慢)。當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來了

12、換元法

是一種技巧，不會(huì)對(duì)某一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中

13、假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的。

14、還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法走投無路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15、單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性。

16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限

(一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f(x)加減某個(gè)值)加減f(x)的形式，看見了有特別注意)(當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)，f(0)的導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義!)