2018考研數(shù)學(xué)：易錯(cuò)點(diǎn)大盤點(diǎn)

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高等數(shù)學(xué)

1.函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在，連續(xù)，可導(dǎo)，可微之間關(guān)系。對(duì)于一元函數(shù)函數(shù)連續(xù)是函數(shù)極限存在的充分條件。若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必有極限。若函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)不一定無極限。若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。但是如果函數(shù)不可導(dǎo)，不能推出函數(shù)在該點(diǎn)一定不連續(xù)，可導(dǎo)與可微等價(jià)。而對(duì)于二元函數(shù)，只能又可微推連續(xù)和可導(dǎo)(偏導(dǎo)都存在)，其余都不成立。

2.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。

3.極值點(diǎn)，拐點(diǎn)。駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系：在一元函數(shù)中，駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，而函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)��?shù)不存在的點(diǎn)。注意極值點(diǎn)和拐點(diǎn)的定義一充、二充、和必要條件。

4.夾逼定理和用定積分定義求極限。這兩種方法都可以用來求和式極限，注意方法的選擇。還有夾逼定理的應(yīng)用，特別是無窮小量與有界量之積仍是無窮小量。

5.可導(dǎo)是對(duì)定義域內(nèi)的點(diǎn)而言的，處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù)，只要一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)不可導(dǎo)，那么就不存在導(dǎo)函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導(dǎo)。

6.泰勒中值定理的應(yīng)用，可用于計(jì)算極限以及證明。

7.比較積分的大小。定積分比較定理的應(yīng)用(常用畫圖法)，多重積分的比較，特別注意第二類曲線積分，曲面積分不可直接比較大小。

8.抽象型的多元函數(shù)求導(dǎo)，反函數(shù)求導(dǎo)(高階)，參數(shù)方程的二階導(dǎo)，以及與變限積分函數(shù)結(jié)合的求導(dǎo)

9.廣義積分和級(jí)數(shù)的斂散性的判斷。

10.介值定理和零點(diǎn)定理的應(yīng)用。關(guān)鍵在于觀察和變換所要證明等式的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)。

11.保號(hào)性。極限的性質(zhì)中最重要的就是保號(hào)性，注意保號(hào)性的兩種形式以及成立的條件。

12.第二類曲線積分和第二類曲面積分。在求解的過程中一般會(huì)使用格林公式和高斯公式，大部分同學(xué)都會(huì)把精力關(guān)注在是否閉合，偏導(dǎo)是否連續(xù)上，而忘記了第三個(gè)條件——方向，要引起注意。

線性代數(shù)

1、行列式的計(jì)算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是線代的工具，判定系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組解的情況及特征值的計(jì)算都會(huì)用到行列式的計(jì)算，故要引起重視。

2、矩陣的變換。矩陣是線代的研究對(duì)象，線性方程組、特征值與特征向量、相似對(duì)角化，二次型，其實(shí)都是在研究矩陣。一定要注意在化階梯型時(shí)只能對(duì)矩陣做行變換，不可做列變換變換。

3、向量和秩。向量和秩比較抽象，也是線代學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，研究線性方程組解的情況其實(shí)就是在研究系數(shù)矩陣的秩，也是在研究把系數(shù)矩陣按列分塊得到的向量組的秩。

4、線性方程組的解。線性方程組是每年的必看知識(shí)點(diǎn)，要熟練掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題，核心是理解基礎(chǔ)解系，要能夠掌握具體方程組的數(shù)列方法，更要能熟練解決抽象型方程組，一般會(huì)轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣的秩或者基礎(chǔ)解，然后解決問題。

5、特征值與特征向量。特征值與特征向量起到承前啟后的作用，一特征值對(duì)應(yīng)的特征向量其實(shí)就是其對(duì)應(yīng)矩陣作為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其重要應(yīng)用就是相似對(duì)角化及正交相似對(duì)角化，是后面二次型的基礎(chǔ)。

6、相似對(duì)角化，包括相似對(duì)角化及正交相似對(duì)角化。要會(huì)判斷是否可以相似對(duì)角化，及正交相似對(duì)角化時(shí)，怎么施密特正交化和單位化。

7、二次型。二次型是線代的一個(gè)綜合型章節(jié)，會(huì)用到前面的很多知識(shí)。要熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，二次型正定的判定，及慣性指數(shù)。

8、矩陣等價(jià)及向量組等價(jià)的充要條件，矩陣等價(jià)，相似，合同的條件。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、非等可能 與 等可能。若一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有N個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，則每一個(gè)基本事件的概率都是1/N;若其中某個(gè)事件A包含的結(jié)果有M個(gè)，則事件A的概率為M/N。

2、互斥與對(duì)立 對(duì)立一定互斥，但互斥不一定對(duì)立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B對(duì)立，則滿足(1)A∩B=空集;(2)P(A+B)=1。

3、互斥與獨(dú)立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B);概率為0或者1的事件與任何事件都獨(dú)立

4、排列與組合。排列與順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)，同類相乘有序，不同類相乘無序。

5、不可能事件與概率為零的隨機(jī)事件。 不可能事件的概率一定為零,但概率為零的隨機(jī)事件不一定是不可能事件，如連續(xù)型隨機(jī)變量在任何一點(diǎn)的概率都為0。

6、必然事件與概率為1的事件。必然事件的概率一定為1，但概率為1的隨機(jī)事件不一定是必然事件。對(duì)于一般情形，由P(A)=P(B)同樣不能推得隨機(jī)事件A等于隨機(jī)事件B。

7、條件概率。P(A|B)表示事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率。若“B是A的子集”，則P(A|B)=1，但P(B|A)=P(B)是不對(duì)的，只有當(dāng)P(A)=1時(shí)才成立。在求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度函數(shù)時(shí)，一定是在邊緣概率密度函數(shù)大于零時(shí)，才可使用“條件=聯(lián)合/邊緣”;反過來用此公式求聯(lián)合概率密度函數(shù)時(shí)，也要保證邊緣概率密度函數(shù)大于零。

8、隨機(jī)變量概率密度函數(shù)。對(duì)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量，用分布函數(shù)法，先討論概率為0和1的區(qū)間，然后反解，再討論，最后求導(dǎo)。對(duì)于二維隨機(jī)變量，若是連續(xù)型和離散型，用全概率公式，若是連續(xù)型和連續(xù)型同樣用分布函數(shù)法，若隨機(jī)變量是Z=X+Y型，用卷積公式。