2018考研數(shù)學(xué)：特征值、特征向量

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特征值、特征向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是歷年考研重點(diǎn)之一。它涉及到行列式、矩陣、相關(guān)、無關(guān)、秩、基礎(chǔ)解系等一系列問題，知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，必須要好好復(fù)習(xí)。后面部分的二次型實(shí)際上是特征值的幾何應(yīng)用，復(fù)習(xí)二次型時(shí)一定要搞清楚二次型與特征值、特征向量之間的內(nèi)在聯(lián)系。下面請隨老師來總結(jié)一下有關(guān)特征值、特征向量的相關(guān)內(nèi)容及計(jì)算。

1.特征值與特征向量的概念

(1)定義：設(shè) 為 階方陣，如果數(shù) 和 維非零列向量 滿足 ，則稱 為 的特征值， 為 的對應(yīng)于 的特征向量。

(2)特征方程： 稱為矩陣 的特征方程， 稱為 的特征多項(xiàng)式。

2.特征值與特征向量的計(jì)算方法

(1)定義法

(2)特征方程法

①由 求出全部特征值 ( );

②求出每個(gè)方程 的基礎(chǔ)解系 ( )( );

③線性組合 ( 不同時(shí)為0)就是 的對應(yīng)于 的全部特征向量。

(3)性質(zhì)法(運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì))。

3.特征值的性質(zhì)

(1)和、積性質(zhì)

① ， 稱為 的跡， 是 的全部特征值;

② ;其中 。

【注】 可逆 ( )

不可逆 0是 的特征值。

(2) 與 有相同的特征值。

(3)若 可逆， 是 的特征值，則 分別有特征值 ，且與 有相同的特征向量。

(4)實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。

(5)若 是 的特征值， 是對應(yīng)的特征向量，則 是 的特征值， 是其對應(yīng)的特征向量;特別是， 分別有特征值 和特征向量 。若 的全部特征值為 ，則 的全部特征值為 ，其中 是任意多項(xiàng)式。

4.特征向量的性質(zhì)

(1)對應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān);

(2)實(shí)對稱矩陣的對應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交;

(3)若 是對應(yīng)于同一個(gè)特征值 的特征向量，則 也是對應(yīng)于 的特征向量;

【注】若 是對應(yīng)于不同特征值 的特征向量，則 必不是特征向量。

(4)若 是 重特征值，則屬于 的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過 個(gè);

(5)若 是實(shí)對稱矩陣的 重特征值，則屬于 的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)有 個(gè)。

本文主要介紹了特征值、特征向量的概念、性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算方法。希望2018考生可以多去練習(xí)及應(yīng)用。這一部分考研出題較靈活，經(jīng)常會(huì)利用相關(guān)性質(zhì)考查相關(guān)題目。希望2018考生可以牢牢掌握該知識點(diǎn)。最后，希望2018考研的同學(xué)們好好復(fù)習(xí)并掌握這一部分的知識，爭取在2018研究生入學(xué)考試中，取得優(yōu)異成績!