2019年河南工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研初試大綱

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第一章 實數(shù)集與函數(shù)

§1 實數(shù)

(一) 教學(xué)目的：1掌握實數(shù)的各條性質(zhì)，掌握實數(shù)的基本概念和最常見的不等式。

(二) 教學(xué)內(nèi)容：實數(shù)的基本性質(zhì)和絕對值的不等式.

基本要求：實數(shù)的有序性，稠密性，阿基米德性.實數(shù)的四則運算.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)主要復(fù)習(xí)中學(xué)的有關(guān)實數(shù)的知識.

(2) 講清用無限小數(shù)統(tǒng)一表示實數(shù)的意義以及引入不足近似值與過剩近似值的作用.

§2 數(shù)集.確界原理

(一) 教學(xué)目的：掌握實數(shù)的區(qū)間與鄰域概念，集合的有界性概念，初步理解上下確界的定義及確界原理的實質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：實數(shù)的區(qū)間與鄰域;集合的上下界，上確界和下確界;確界原理.

(1)基本要求：掌握實數(shù)的區(qū)間與鄰域概念;分清最大值與上確界的聯(lián)系與區(qū)別;結(jié)合具體集合，能指出其確界;

(2)較高要求：能用定義證明集合的上(下)確界.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)重點是確界概念和確界原理.不可強行要求一步到位，對多數(shù)學(xué)生可只布置證明具體集合的確界的習(xí)題.

(2) 本節(jié)難點亦是確界概念和確界原理.對較好學(xué)生可布置證明抽象集合的確界的

§3 函數(shù)概念

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)概念和函數(shù)的不同的表示方法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的定義與表示法;復(fù)合函數(shù)與反函數(shù);初等函數(shù).

基本要求：正確理解和掌握函數(shù)的概念和性質(zhì),了解四則運算,復(fù)合函數(shù),反函數(shù)的定義.掌握初等函數(shù)的性質(zhì),了解幾個常見非初等函數(shù)(比如狄利克萊函數(shù)、黎曼函數(shù)等)的定義及性質(zhì).

(三) 教學(xué)建議：

通過狄利克萊函數(shù)和黎曼函數(shù)，使學(xué)生對函數(shù)的認識從具體上升到抽象.

§4 具有某些特性的函數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)的有界性，單調(diào)性，奇偶性和周期性.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)，偶函數(shù)和周期函數(shù).

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是通過對函數(shù)的有界性的分析，培養(yǎng)學(xué)生了解研究抽象函數(shù)性質(zhì)的方法.

(2) 本節(jié)的難點是要求用分析的方法定義函數(shù)的無界性.

第二章 數(shù)列極限

§1 數(shù)列極限概念

(一) 教學(xué)目的：掌握數(shù)列極限概念，學(xué)會證明數(shù)列極限的基本方法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列極限.

(1)基本要求：正確理解和掌握數(shù)列極限的嚴格定義.懂得數(shù)列極限的分析定義中與的關(guān)系，學(xué)會用數(shù)列極限的定義證明極限.

(2)較高要求：學(xué)會若干種用數(shù)列極限的分析定義證明極限的特殊技巧.

(三)教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是數(shù)列極限的分析定義，要強調(diào)這一定義在數(shù)學(xué)分析中的重要性.

(2) 本節(jié)的難點仍是數(shù)列極限的分析定義.對較好學(xué)生可要求他們用數(shù)列極限的分析定義證明較復(fù)雜的數(shù)列極限，還可要求他們深入理解數(shù)列極限的分析定義.

§2 收斂數(shù)列的性質(zhì)

(一) 教學(xué)目的：掌握數(shù)列極限的主要性質(zhì).會運用四則運算定理, 兩邊夾定理,計算極限，能用海因定理證明極限不存在.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則和數(shù)列的子列及有關(guān)子列的定理.

(1)基本要求：理解數(shù)列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則，并會用其中某些性質(zhì)計算具體的數(shù)列的極限.

(2)較高要求：掌握這些性質(zhì)的較難的證明方法，以及證明抽象形式的數(shù)列極限的方法.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是數(shù)列極限的性質(zhì)的證明與運用.對多數(shù)學(xué)生可重點講解其中幾個性質(zhì)的證明，多布置利用這些性質(zhì)求具體數(shù)列極限的習(xí)題.

(2) 本節(jié)的難點是數(shù)列極限性質(zhì)的分析證明.對較好的學(xué)生，要求能夠掌握這些性質(zhì)的證明方法，并且會用這些性質(zhì)計算較復(fù)雜的數(shù)列極限，例如：

，等.

§3 數(shù)列極限存在的條件

(一) 教學(xué)目的：掌握單調(diào)有界定理，理解柯西收斂準(zhǔn)則.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：單調(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則.

(1)基本要求：掌握單調(diào)有界定理的證明，會用單調(diào)有界定理證明數(shù)列極限的存在性 .理解柯西收斂準(zhǔn)則的直觀意義.

(2)較高要求：會用單調(diào)有界定理證明數(shù)列極限的存在性，會用柯西收斂準(zhǔn)則判別抽象數(shù)列(極限)的斂散性.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是數(shù)列單調(diào)有界定理.對多數(shù)學(xué)生要求會用單調(diào)有界定理證明數(shù)列極限的存在性.

(2) 本節(jié)的難點是柯西收斂準(zhǔn)則.要求較好學(xué)生能夠用柯西收斂準(zhǔn)則判別數(shù)列的斂散性.

第三章 函數(shù)極限

§1 函數(shù)極限概念

(一) 教學(xué)目的：正確理解和掌握函數(shù)極限的嚴格定義.左右極限定義，掌握極限與左右極限的關(guān)系，能夠用分析定義證明和計算函數(shù)的極限.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)各種極限的分析定義.

基本要求：掌握函數(shù)極限的分析定義，并且會用函數(shù)極限的分析定義證明和計算較簡單的函數(shù)極限.

(三) 教學(xué)建議：

本節(jié)的重點是各種函數(shù)極限的分析定義.對多數(shù)學(xué)生要求主要掌握函數(shù)極限的分析定義，并用函數(shù)極限的分析定義求函數(shù)的極限.

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)極限的性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則.

(1)基本要求：掌握函數(shù)極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則，并會用這些性質(zhì)計算函數(shù)的極限.

(2) 較高要求：理解函數(shù)極限的局部性質(zhì)，并對這些局部性質(zhì)作進一步的理論性的認識.

(三) 教學(xué)建議：

(1)本節(jié)的重點是函數(shù)極限的各種性質(zhì).由于這些性質(zhì)類似于數(shù)列極限中相應(yīng)的性質(zhì)，可著重強調(diào)其中某些性質(zhì)與數(shù)列極限的相應(yīng)性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系.

(2) 本節(jié)的難點是函數(shù)極限的局部性質(zhì).對較好學(xué)生，要求懂得這些局部的(的大小)不僅與有關(guān)，而且與點有關(guān)，為以后講解函數(shù)的一致連續(xù)性作準(zhǔn)備.

§3 函數(shù)極限存在的條件

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)極限的歸結(jié)原理和函數(shù)極限的單調(diào)有界定理，理解函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)極限的歸結(jié);函數(shù)極限的單調(diào)有界定理;函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則.

(1) 基本要求：掌握函數(shù)極限的歸結(jié)，理解函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則.

(2) 較高要求：能夠?qū)懗龊瘮?shù)各種極限的歸結(jié)原理和柯西準(zhǔn)則.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是函數(shù)極限的歸結(jié)原理.要著重強調(diào)歸結(jié)原理中數(shù)列的任意性.

(2) 本節(jié)的難點是函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則.要求較好學(xué)生能夠熟練地寫出和運用函數(shù)各種極限的歸結(jié)原理和柯西準(zhǔn)則.

§4 兩個重要的極限

(一) 教學(xué)目的：掌握兩個重要極限：

 

 

(二) 教學(xué)內(nèi)容：兩個重要極限：

 

 

(1) 基本要求：掌握 證明方法，利用兩個重要極限計算函數(shù)極限與數(shù)列極限.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是與兩個重要的函數(shù)極限有關(guān)的計算與證明.

(2) 本節(jié)的難點是利用迫斂性證明 .

§5 無窮小量與無窮大量

(一) 教學(xué)目的：掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數(shù)的概念.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：無窮小量與無窮大量，高階無窮小，同階無窮小，等階無窮小，無窮大.

(1) 基本要求：掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數(shù)的概念.

(2) 較高要求：能夠?qū)懗鰺o窮小量與無窮大量的分析定義，并用分析定義證明無窮小量與無窮大量.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是無窮小量與無窮大量以及它們的階數(shù)的概念.

(2) 本節(jié)的難點是熟練運算.

第四章 函數(shù)的連續(xù)性

§1 連續(xù)性概念

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)連續(xù)性概念.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：深刻理解函數(shù)連續(xù),函數(shù)左右連續(xù),區(qū)間上函數(shù)連續(xù),間斷點及其分類等概念.對一

般的函數(shù)特別是初等函數(shù)可以討論其間斷點并且分類.

(1) 基本要求：掌握函數(shù)連續(xù)性概念，可去間斷點，跳躍間斷點，第二類間斷點，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的定義.

(2) 較高要求：討論黎曼函數(shù)的連續(xù)性.

(三) 教學(xué)建議：

(1)函數(shù)連續(xù)性概念是本節(jié)的重點.對學(xué)生要求懂得函數(shù)在一點和在區(qū)間上連續(xù)的定義，間斷點的分類.

(2) 本節(jié)的難點是用較高的分析方法、技巧證明函數(shù)的連續(xù)性，可在此節(jié)中對較好學(xué)生布置有關(guān)習(xí)題.

§2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

(一) 教學(xué)目的：掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：連續(xù)函數(shù)的局部保號性，局部有界性，四則運算;閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函數(shù)的連續(xù)性，一致連續(xù)性.

(1) 基本要求：掌握函數(shù)局部性質(zhì)概念，可去間斷點，跳躍間斷點，第二類間斷點;了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

(2) 較高要求：對一致連續(xù)性的深入理解.

(三)教學(xué)建議：

(1) 函數(shù)連續(xù)性概念是本節(jié)的重點.要求學(xué)生掌握函數(shù)在一點和在區(qū)間上連續(xù)的定義，間斷點的分類，了解連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì).對一致連續(xù)性作出幾何上的解釋.

(2) 本節(jié)的難點是連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)，尤其是一致連續(xù)性和非一致連續(xù)性的特征.可在本節(jié)中對較好學(xué)生布置判別函數(shù)一致連續(xù)性的習(xí)題.

§3 初等函數(shù)的連續(xù)性

(一) 教學(xué)目的：了解指數(shù)函數(shù)的定義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：指數(shù)函數(shù)的定義;初等函數(shù)的連續(xù)性.

(1) 基本要求：掌握初等函數(shù)的連續(xù)性.

(2) 較高要求：掌握指數(shù)函數(shù)的嚴格定義.

(三)教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是初等函數(shù)的連續(xù)性.要求學(xué)生會用初等函數(shù)的連續(xù)性計算極限.

(2) 本節(jié)的難點是理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

第五章 導(dǎo)數(shù)和微分

§1 導(dǎo)數(shù)的概念

(一) 教學(xué)目的：1.理解導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何、物理意義. 2.掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.

了解費馬定理、達布定理.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，有限增量公式，導(dǎo)函數(shù).

(1) 基本要求：掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)是差商的極限.了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解費馬定理.

(2) 較高要求：理解達布定理.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義.會用定義計算函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù).

(2) 本節(jié)的難點是達布定理.對較好學(xué)生可布置運用達布定理的習(xí)題.

§2 求導(dǎo)法則

(一) 教學(xué)目的：熟練掌握求導(dǎo)運算的四則運算法則,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及初等函數(shù)求導(dǎo)公式，熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的四則運算，反函數(shù)求導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.

基本要求：熟練掌握求導(dǎo)法則和熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，會求平面曲線的切線方程和法線方程.

(三) 教學(xué)建議：

求導(dǎo)法則的掌握和運用對以后的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，要安排專門時間督促和檢查學(xué)生學(xué)習(xí)情況.

§3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則.

基本要求：熟練掌握參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則.

(三) 教學(xué)建議：

通過足量習(xí)題使學(xué)生掌握參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則.

§4高階導(dǎo)數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握高階導(dǎo)數(shù)的概念，了解求高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：高階導(dǎo)數(shù);求高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式.

(1) 基本要求：掌握高階導(dǎo)數(shù)的定義，能夠計算給定函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

(2) 較高要求：掌握并理解參變量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是高階導(dǎo)數(shù)的概念和計算.要求學(xué)生熟練掌握.

(2) 本節(jié)的難點是高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式，特別是參變量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).要強調(diào)對參變量求導(dǎo)與對自變量求導(dǎo)的區(qū)別.可要求較好學(xué)生掌握求參變量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).

§5 微分

(一) 教學(xué)目的：掌握微分的概念和微分的運算方法，了解高階微分和微分在近似計算中的應(yīng)用.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：微分的概念，微分的運算法則，高階微分，微分在近似計算中的應(yīng)用.

(1) 基本要求：掌握微分的概念，微分的運算法則，一階微分形式的不變性.

(2) 較高要求：掌握高階微分的概念.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是掌握微分的概念，要講清微分是全增量的線性主部.

(2) 本節(jié)的難點是高階微分，可要求較好學(xué)生掌握這些概念.

第六章 微分中值定理及其應(yīng)用

§1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性

(一) 教學(xué)目的：

1.熟練掌握微分學(xué)中值定理.掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的條件,結(jié)論和證明方法

2.會用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性，能用中值定理解決一些證明問題.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：羅爾中值定理;拉格朗日中值定理.

(1) 基本要求：掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性.

(2) 較高要求：掌握導(dǎo)數(shù)極限定理.

(三) 教學(xué)建議：

(1)本節(jié)的重點是掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢記定理的條件與結(jié)論，知道證明的方法.

(2)本節(jié)的難點是用拉格朗日中值定理證明有關(guān)定理與解答有關(guān)習(xí)題.可要求較好學(xué)生掌握通過設(shè)輔助函數(shù)來運用微分中值定理.

§2 柯西中值定理和不定式極限

(一) 教學(xué)目的：掌握落比達法則求極限的方法,了解定理的條件.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：柯西中值定理;洛必達法則的使用.

(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必達法則求各種不定式極限.

(2) 較高要求：掌握洛必達法則

 

 

型定理的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1)本節(jié)的重點是掌握用洛必達法則求各種不定式極限.可強調(diào)洛必達法則的重要性，并總結(jié)求各種不定式極限的方法.

(2) 本節(jié)的難點是掌握洛必達法則的證明，特別是

 

 

型的證明.

§3 泰勒公式

(一) 教學(xué)目的：理解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式.會用臺勞公式求極限和求常見函數(shù)的近擬值

(二) 教學(xué)內(nèi)容：帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式及其在近似計算中的應(yīng)用.

(1) 基本要求：了解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式，熟記六個常見函數(shù)的麥克勞林公式.

(2) 較高要求：用泰勒公式計算某些極限.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是理解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式.

(2) 本節(jié)的難點是掌握帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式的證明.對較好學(xué)生可要求掌握證明的方法.

§4函數(shù)的極值與最大(小)值

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)的極值與最大(小)值的概念.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的極值與最值.

(1) 基本要求：掌握求函數(shù)極值的第一、二充分條件;學(xué)會求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值及其應(yīng)用.

(2) 較高要求：掌握求函數(shù)極值的第三充分條件.

(三) 教學(xué)建議：

教會學(xué)生以函數(shù)的不可導(dǎo)點和導(dǎo)函數(shù)(以及二階導(dǎo)數(shù))的零點(穩(wěn)定點)分割函數(shù)定義域，作自變量、導(dǎo)函數(shù)(以及二階導(dǎo)數(shù))、函數(shù)的性態(tài)表，這個表給出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，凸區(qū)間，極值.這對后面的函數(shù)作圖也有幫助.

§5 函數(shù)的凸性與拐點.

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)凸性與拐點的概念，對一般的函數(shù)會求其單調(diào)區(qū)間,極值,最值,凹凸性,

拐點及函數(shù)的漸近線，應(yīng)用函數(shù)的凸性證明不等式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的凸性與拐點.

(1) 基本要求：掌握函數(shù)的凸性與拐點的概念，應(yīng)用函數(shù)的凸性證明不等式.

(2) 較高要求：運用詹森不等式證明或構(gòu)造不等式，左、右導(dǎo)數(shù)的存在與連續(xù)的關(guān)系.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 教給學(xué)生判斷凸性的充分條件即可，例如導(dǎo)函數(shù)單調(diào).

(2) 本節(jié)的難點是運用詹森不等式證明不等式.

§6 函數(shù)圖象的討論

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)圖象的大致描繪

(二) 教學(xué)內(nèi)容：作函數(shù)圖象.

(1) 基本要求：掌握直角坐標(biāo)系下顯式函數(shù)圖象的大致描繪.

(2) 較高要求：能描繪參數(shù)形式的函數(shù)圖象.

(三)教學(xué)建議：

教會學(xué)生根據(jù)函數(shù)的性態(tài)表，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，凸區(qū)間，大致描繪函數(shù)圖象.

第七章 實數(shù)的完備性

§1關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理

(一)教學(xué)目的：理解區(qū)間套定理,聚點定理,致密性定理,有限覆蓋定理的條件和結(jié)論.理解這些定理的含意及關(guān)系,了解各定理的證明思路.

(二)教學(xué)內(nèi)容：區(qū)間套定理、柯西判別準(zhǔn)則的證明;聚點定理;有限覆蓋定理.

(1) 基本要求：掌握和運用區(qū)間套定理、致密性定理.

(2) 較高要求：掌握聚點定理和有限覆蓋定理的證明與運用.

(三) 教學(xué)建議：

(1)本節(jié)的重點是區(qū)間套定理和致密性定理.教會學(xué)生在什么樣情況下應(yīng)用區(qū)間套定理和致密性定理以及如何應(yīng)用區(qū)間套定理和致密性定理.

(2) 本節(jié)的難點是掌握聚點定理和有限覆蓋定理.教會較好學(xué)生如何應(yīng)用聚點定理和有限覆蓋定理.

§2 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

(一) 教學(xué)目的：證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界性的證明;閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大(小)值定理的證明;閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)介值定理的證明;閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)性的證明.

(1)基本要求：理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明思路和證明方法.掌握用有限覆蓋定理或用

致密性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性;用確界原理證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大(小)值定理;用區(qū)間套定理證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)介值定理.

(2)掌握用有限覆蓋定理證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的有界性和一致連續(xù)性.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

(2) 本節(jié)的難點是掌握用有限覆蓋定理證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性以及實數(shù)完備性的六大定理的等價性證明，對較好學(xué)生可布置這方面的習(xí)題.

第八章 不定積分

§1不定積分的概念與基本積分公式

(一) 教學(xué)目的：掌握原函數(shù),不定積分的概念和性質(zhì)

(二) 教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)的概念;基本積分公式;不定積分的幾何意義.熟練掌握基本積分公式及線性運算法則

基本要求：熟練掌握原函數(shù)的概念和基本積分公式.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 不定積分是以后各種積分計算的基礎(chǔ)，要求熟記基本積分公式表.

(2) 適當(dāng)擴充基本積分公式表.

§2 換元積分法與分部積分法

(一) 教學(xué)目的：掌握第一、二換元積分法與分部積分法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：第一、二換元積分法;分部積分法.

基本要求：熟練掌握換元積分法和分步積分法.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 布置足量的有關(guān)換元積分法與分部積分法的計算題.

(2) 總結(jié)分部積分法的幾種形式：升冪法，降冪法和循環(huán)法.

§3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分

(一) 教學(xué)目的：會計算有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：有理函數(shù)的不定積分;三角函數(shù)有理式的不定積分;某些無理根式的不定積分.

(1) 基本要求：會計算有理函數(shù)的不定積分;三角函數(shù)有理式的不定積分;某些無理根式的不定積分.

(2) 較高要求：利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 適當(dāng)布置有理函數(shù)的不定積分，三角函數(shù)有理式的不定積分，某些無理根式的不定積分的習(xí)題.

(2) 本節(jié)的難點是利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分，可要求較好學(xué)生掌握.

第九章 定積分

§1 定積分的概念

(一) 教學(xué)目的：引進定積分的概念.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：定積分的定義.

基本要求：掌握定積分的定義,上,下和的定義等概念，了解定積分的幾何意義和物理意義.

(三) 教學(xué)建議：要求掌握定積分的定義，并了解定積分的幾何意義.

§2 牛頓-萊布尼茨公式

(一) 教學(xué)目的：熟練掌握和應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：牛頓-萊布尼茨公式.

(1) 基本要求：熟練掌握和應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式.

(2) 較高要求：利用定積分的定義來處理一些特殊的極限.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求能證明并應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式.

(2) 利用定積分的定義來處理一些特殊的極限是一個難點，對學(xué)習(xí)較好的學(xué)生可布置這種類型的題目.

§3 可積條件

(一) 教學(xué)目的：理解定積分的充分條件，必要條件和充要條件.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：定積分的充分條件和必要條件;可積函數(shù)類.

基本要求：掌握可積的必要條件,充分條件及證明思路.掌握可積函數(shù)類.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 理解定積分的第一、二充要條件是本節(jié)的重點，要求學(xué)生必須掌握.

(2) 證明定積分的第一、二、三充要條件是本節(jié)的難點.對較好學(xué)生可要求掌握這些定理的證明以及證明某些函數(shù)的不可積性.

§4定積分的性質(zhì)

(一) 教學(xué)目的：掌握定積分的性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：定積分的基本性質(zhì);積分第一中值定理.

(1) 基本要求：掌握定積分的基本性質(zhì)和積分第一中值定理.

(2) 較高要求：較難的積分不等式的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 定積分的基本性質(zhì)和積分第一中值定理是本節(jié)的重點，要求學(xué)生必須掌握并靈活應(yīng)用.

(2) 較難的積分不等式的證明是本節(jié)的難點.對較好學(xué)生可布置這方面的習(xí)題.

§5 微積分學(xué)基本定理

(一) 教學(xué)目的：掌握微積分學(xué)基本定理.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：變上限的定積分;變下限的定積分;微積分學(xué)基本定理;積分第二中值定理，換元積分法;分部積分法;泰勒公式的積分型余項.

(1) 基本要求：掌握變限定積分的概念;掌握微積分學(xué)基本定理和換元積分法及分部積分法.

(2) 較高要求：掌握積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項.

(三)教學(xué)建議：

(1) 微積分學(xué)基本定理是本節(jié)重點，要求學(xué)生必須掌握微積分學(xué)基本定理完整的條件與結(jié)論.

(2) 積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項是本節(jié)的難點.對較好學(xué)生要求他們了解這些內(nèi)容.

第十章 定積分的應(yīng)用

§1平面圖形的面積

(一) 教學(xué)目的：掌握平面圖形面積的計算公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：平面圖形面積的計算公式.

(1) 基本要求：掌握平面圖形面積的計算公式，包括參量方程及極坐標(biāo)方程所定義的平面圖形面積的計算公式.

(2) 較高要求：提出微元法的要領(lǐng).

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是平面圖形面積的計算公式，要求學(xué)生必須熟記并在應(yīng)用中熟練掌握.

(2) 領(lǐng)會微元法的要領(lǐng).

§2 由平行截面面積求體積

(一) 教學(xué)目的：掌握由平行截面面積求體積的計算公式

(二) 教學(xué)內(nèi)容：由平行截面面積求體積的計算公式.

基本要求：掌握由平行截面面積求體積的計算公式.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須熟記由平行截面面積求體積的計算公式并在應(yīng)用中熟練掌握.

(2) 進一步領(lǐng)會微元法的要領(lǐng).

§3 平面曲線的弧長與曲率

(一) 教學(xué)目的：掌握平面曲線的弧長與曲率

(二) 教學(xué)內(nèi)容：平面曲線的弧長與曲率的計算公式.

(1) 基本要求：掌握平面曲線的弧長計算公式.

(2) 較高要求：掌握平面曲線的曲率計算公式.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須熟記平面曲線的弧長計算公式.

(2) 對較好學(xué)生可要求他們掌握平面曲線的曲率計算公式.

§4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積

(一) 教學(xué)目的：掌握旋轉(zhuǎn)曲面的面積計算公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)曲面的面積計算公式.

基本要求：掌握求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計算公式，包括求由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積;

掌握平面曲線的曲率的計算公式.

(三) 教學(xué)建議：

要求學(xué)生必須熟記旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算公式，掌握由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.

§5 定積分在物理中的某些應(yīng)用

(一) 教學(xué)目的：掌握定積分在物理中的應(yīng)用的基本方法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：液體靜壓力;引力;功與平均功率.

(1) 基本要求：要求學(xué)生掌握求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式.

(2) 較高要求：要求學(xué)生運用微元法導(dǎo)出求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式.

(三) 教學(xué)建議：

要求學(xué)生必須理解和會用求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式.

十一章 反常積分

§1反常積分的概念

(一) 教學(xué)目的：掌握反常積分的定義與計算方法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：無窮積分;瑕積分.

基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義與計算方法.

(三) 教學(xué)建議：講清反常積分是變限積分的極限.

§2 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別

(一) 教學(xué)目的：掌握無窮積分的性質(zhì)與收斂判別準(zhǔn)則.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：無窮積分的收斂;條件收斂;絕對收斂;比較判別法;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

(1) 基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義，會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性.

(2) 較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

(三) 教學(xué)建議：(1) 本節(jié)的重點是掌握判別無窮積分與瑕積分收斂的方法，要求學(xué)生主要學(xué)會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性.

(2) 本節(jié)的難點是用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性，對較好學(xué)生布置這方面的習(xí)題.

第十二章 數(shù)項級數(shù)

§1 級數(shù)的收斂性

(一) 教學(xué)目的：掌握數(shù)項級數(shù)收斂性的定義和收斂級數(shù)的性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)項級數(shù)收斂性的定義和基本性質(zhì);等比級數(shù);調(diào)和級數(shù).

基本要求：深刻理解數(shù)項級數(shù)收斂的定義及與數(shù)列收斂的關(guān)系.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須理解和掌握數(shù)項級數(shù)收斂性的定義和基本性質(zhì);掌握等比級數(shù)與調(diào)和級數(shù)

的斂散性.

(2) 應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則判別級數(shù)的斂散性是一個難點，對較好的學(xué)生可提出相應(yīng)要求.

§2 正項級數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握判別正項級數(shù)斂散性的各種方法，包括比較判別法，比式判別法，根式判別

法和積分判別法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：比較判別法;比式判別法;根式判別法;積分判別法.

(1) 基本要求：掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法.

(2) 較高要求：介紹拉貝判別法.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須理解和掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法，要布置足量的習(xí)題.

(2) 對較好學(xué)生可要求掌握拉貝判別法，可挑選適量的習(xí)題.

(3) 由于這方面內(nèi)容與反常積分的部分內(nèi)容有類似之處，可向?qū)W生作比較與總結(jié).

§3 一般項級數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法，一般項級數(shù)的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：交錯級數(shù);萊布尼茨判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法;條件收斂;絕對收斂.

基本要求：(1)理解收斂級數(shù),絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的關(guān)系,性質(zhì)及證明方法.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法.

(2) 掌握一般項級數(shù)的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，了解絕對收斂級數(shù)的性質(zhì).

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是要求學(xué)生必須熟練掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法，掌握條件收斂和絕對收斂的定義，了解絕對收斂級數(shù)性質(zhì)的結(jié)論.總結(jié)判別一般項級數(shù)的斂散性的各種方法.

(2) 本節(jié)的難點是要求學(xué)生掌握一般項級數(shù)的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，要求較好學(xué)生掌握絕對收斂級數(shù)的性質(zhì).

第十三章 函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)

§1 一致收斂性

(一) 教學(xué)目的：掌握函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的定義;函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則;函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法.

(1) 基本要求：掌握函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致

收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法.

(2) 較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須掌握函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法.

(2) 對較好學(xué)生可要求他們掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

§2 一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì).

(一) 教學(xué)目的：掌握一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性，可積性，可微性.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性的判別;可積性的判別，可微性的判別.

(1) 基本要求：了解一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性，可積性和可微性的證明.

(2) 較高要求：掌握一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性，可積性和可微性的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須掌握一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性，可積性，可微性的結(jié)論.

(2) 對較好學(xué)生可布置有關(guān)函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性，可積性和可微性證明的習(xí)題.

第十四章 冪級數(shù)

§1 冪級數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握冪級數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的定義與求法，掌握冪級數(shù)的性質(zhì)和運算.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：冪級數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的定義與求法;掌握冪級數(shù)收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域的概念.

基本要求：(1)理解冪級數(shù)作為特殊的函數(shù)項級數(shù)有和一般函數(shù)項級數(shù)相同的性質(zhì).會求冪

級數(shù)的收斂半徑和收斂范圍.掌握冪級數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的定義與求法，學(xué)會解答有關(guān)冪級數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的習(xí)題.

(2) 學(xué)會解答有關(guān)冪級數(shù)收斂區(qū)域的習(xí)題.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 布置足量求冪級數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的習(xí)題.

(2) 有關(guān)冪級數(shù)收斂域的問題，對較好的學(xué)生可布置適量的習(xí)題

§2 函數(shù)的冪級數(shù)展開

(一) 教學(xué)目的：掌握泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)展開，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開.熟記一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)展開式的定義;五種基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.

(1) 基本要求：掌握泰勒級數(shù)和麥克勞林展開式，五種基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開.

(2) 較高要求：學(xué)會用逐項求積和逐項求導(dǎo)的方法展開初等函數(shù)，并利用它們作間接展開.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須掌握泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)展開式，并利用五種基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式對一些初等函數(shù)作間接展開.

(2) 對較好學(xué)生可布置利用逐項求導(dǎo)和逐項求積的方法展開初等函數(shù)的習(xí)題.

第十五章 傅里葉級數(shù)

§1 傅里葉級數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握三角級數(shù)和傅里葉級數(shù)定義，了解傅里葉級數(shù)的收斂定理.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：三角級數(shù);正交函數(shù)系;傅里葉級數(shù)定義;傅里葉級數(shù)的收斂定理.

(1) 基本要求：掌握三角級數(shù)和傅里葉級數(shù)定義，了解傅里葉級數(shù)的收斂定理;能夠展開比較簡單函數(shù)的傅里葉級數(shù).

(2) 較高要求：有關(guān)傅里葉級數(shù)的逐項求導(dǎo)和逐項求積的問題，向?qū)W生介紹引入傅里葉級數(shù)的意義 (包括物理意義和數(shù)學(xué)意義).

(三) 教學(xué)建議：

(1) 向?qū)W生介紹引入傅里葉級數(shù)的意義(包括物理意義和數(shù)學(xué)意義).

(2) 三角級數(shù)和傅里葉級數(shù)的展開計算量較大，可布置適量習(xí)題使學(xué)生了解展開的方法與步驟.

§2 以2l 為周期的函數(shù)的展開式

(一) 教學(xué)目的：掌握以2l 為周期的函數(shù)的展開式，偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開，正弦級數(shù)，余弦級數(shù).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：對以2l 為周期的函數(shù)作傅里葉級數(shù)展開的基本方法;偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開;正弦級數(shù);余弦級數(shù)

(1) 基本要求：掌握以2l 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開的基本方法.

(2) 較高要求：掌握通過對函數(shù)做奇延拓或偶延拓并展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)的基本方法.

(三) 教學(xué)建議：

三角級數(shù)和傅里葉級數(shù)的展開計算量較大，可布置少量習(xí)題使學(xué)生了解展開的方法與步驟.

§3 收斂定理的證明

(一) 教學(xué)目的：了解收斂定理的證明.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理;收斂定理的證明.

(1) 基本要求：掌握貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理;了解收斂定理的證明要點.

(2) 較高要求：理解收斂定理的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須掌握貝塞爾不等式和黎曼-勒貝格定理，了解收斂定理的證明要點.

(2) 對較好學(xué)生布置與收斂定理的證明有關(guān)的習(xí)題.

第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

§1 平面點集與多元函數(shù)

(一) 教學(xué)目的：了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義，了解

 

 

的完備性，掌握二元及多元函數(shù)的定義.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義;

 

 

的完備性;二元及多元函數(shù)的定義.

(1) 基本要求：了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義，以及

 

 

的完備性，掌握二元及多元函數(shù)的定義.

(2) 較高要求：掌握

 

 

的完備性定理.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生清楚地了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域等有關(guān)

 

 

的概念，可布置適量習(xí)題.

(2) 有關(guān)

 

 

的完備性定理的證明可對較好學(xué)生提出要求.

§2 二元函數(shù)的極限.

(一) 教學(xué)目的：掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義;累次極限.

(1) 基本要求：掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法.

(2) 較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會他們求多元函數(shù)極限的方法.

(2) 對較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法.

§3 二元函數(shù)的連續(xù)性

(一) 教學(xué)目的：掌握二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，以及多元函數(shù)的局部性質(zhì)和它們在有界閉域上的整體性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的連續(xù)性的定義;有界閉域上連續(xù)函數(shù)的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致連續(xù)性.

(1) 基本要求：掌握二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

(2) 較高要求：掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明要點.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)基本上與一元函數(shù)的情況類似，教學(xué)中可通過復(fù)習(xí)一元連續(xù)函數(shù)的定理引出.

(2)對較好學(xué)生，可布置一些與有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的習(xí)題.

第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)

§1 可微性

(一) 教學(xué)目的：掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，可微性與全微分的定義，可微的必要條件.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，可微性與全微分的定義;可微的必要條件與充分條件.

基本要求：掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，可微性與全微分的定義，熟記可微的必要條件與充分條件，并能熟練地求多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高級偏導(dǎo)數(shù).理解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在,可微,連續(xù)之間的關(guān)系.能熟練地求多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高級偏導(dǎo)數(shù).

(三) 教學(xué)建議：

(1)本節(jié)的重點是多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，可微性與全微分的定義.

(2) 通過討論可微的必要條件與充分條件，弄清多元函數(shù)連續(xù)，存在偏導(dǎo)數(shù)與可微這三個分析性質(zhì)之間的關(guān)系.

§2 復(fù)合函數(shù)微分法

(一) 教學(xué)目的：掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t;復(fù)合函數(shù)的全微分;一階全微分形式不變性.

(1) 基本要求：掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t.

(2) 較高要求：掌握鏈?zhǔn)椒▌t的證明和理解一階全微分形式不變性.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，應(yīng)布置較多習(xí)題以使學(xué)生能通過完成作業(yè)達到熟練使用鏈?zhǔn)椒▌t的目的.

(2) 舉例說明正確使用一階全微分形式不變性的基本方法.

§3 方向?qū)��?shù)與梯度

(一) 教學(xué)目的：掌握方向?qū)��?shù)與梯度的定義，學(xué)會計算方向?qū)��?shù)與梯度.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：方向?qū)��?shù)與梯度的定義;方向?qū)��?shù)與梯度的計算公式.

基本要求：掌握方向?qū)��?shù)與梯度的定義，掌握方向?qū)��?shù)與梯度的計算.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 適當(dāng)介紹引入方向?qū)��?shù)和梯度的意義(物理意義和計算方法上的意義).

(2) 對學(xué)生強調(diào)方向?qū)��?shù)存在性與偏導(dǎo)數(shù)存在性和可微性的區(qū)別與聯(lián)系.

(3) 注意使用方向?qū)��?shù)計算公式的前提條件.

§4 泰勒公式與極值問題

(一) 教學(xué)目的：掌握二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與泰勒公式的定義，掌握二元函數(shù)的極值的必要條件與充分條件.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù);中值定理與泰勒公式;二元函數(shù)的極值的必要條件與充分條件.

(1) 基本要求：掌握二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與泰勒公式的定義，能夠根據(jù)二元函數(shù)的極值的必要條件與充分條件尋找二元函數(shù)的極值與最大(小)值.

(2) 較高要求：掌握混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的定理的證明以及二元函數(shù)的極值的必要條件充分條件定理的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 布置適量的求二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)和求二元函數(shù)的極值與最值的習(xí)題.

(2) 討論混合偏導(dǎo)和與求導(dǎo)次序無關(guān)的多種定理證明的習(xí)題有一定的難度，只對較好學(xué)生布置有關(guān)習(xí)題.

第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

§1 隱函數(shù)

(一) 教學(xué)目的：掌握隱函數(shù)概念，理解隱函數(shù)定理，學(xué)會隱函數(shù)求導(dǎo)法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：隱函數(shù)的定義;隱函數(shù)存在性定理;隱函數(shù)可微性定理.

(1) 基本要求：掌握隱函數(shù)存在的條件，理解隱函數(shù)定理的證明要點;學(xué)會隱函數(shù)求導(dǎo)法.

(2) 較高要求：掌握隱函數(shù)定理的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是隱函數(shù)定理，學(xué)會隱函數(shù)求導(dǎo)法.要求學(xué)生必須熟記隱函數(shù)定理的條件與結(jié)論，了解隱函數(shù)定理的證明要點.

(2) 本節(jié)的難點是隱函數(shù)定理的嚴格證明，對較好學(xué)生在這方面提出要求.

§2 隱函數(shù)組

(一) 教學(xué)目的：掌握隱函數(shù)組存在的條件，學(xué)會隱函數(shù)組求導(dǎo)法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：隱函數(shù)組的定義; 隱函數(shù)組定理;反函數(shù)組的定義與求導(dǎo)法.

(1) 基本要求：掌握隱函數(shù)組和反函數(shù)組存在的條件，學(xué)會隱函數(shù)組和反函數(shù)組求導(dǎo)法.

(2) 較高要求：理解隱函數(shù)組和反函數(shù)組定理的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生熟記隱函數(shù)組和反函數(shù)組存在的條件，學(xué)會隱函數(shù)組和反函數(shù)組求導(dǎo)法.

(2) 隱函數(shù)組和反函數(shù)組定理的證明較為繁復(fù)，對一般學(xué)生可不作要求.

§3 幾何應(yīng)用

(一) 教學(xué)目的：掌握用隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)法求平面曲線的切線與法線，求空間曲線的切線與法平面，求曲面的切平面與法線.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：平面曲線的切線與法線方程;空間曲線的切線與法平面方程;求曲面的切平面與法線方程.

基本要求：能夠?qū)懗銎矫媲�線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程以及曲面的切平面與法線方程.

(三) 教學(xué)建議：要求學(xué)生必須熟記平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程以及曲面的切平面與法線方程，可布置適量的習(xí)題加深他們的印象.

§4 條件極值

(一) 教學(xué)目的：了解拉格朗日乘數(shù)法，學(xué)會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：條件極值;拉格朗日乘數(shù)法.

(1) 基本要求：了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法.

(2) 較高要求：用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值.要求學(xué)生熟練掌握.

(2) 多個條件的的條件極值問題，計算量較大，可布置少量習(xí)題.

(3) 在解決很多問題中，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個好方法.可推薦給較好學(xué)生.

第十九章 含參量積分

§1 含參量正常積分

(一) 教學(xué)目的：掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理，掌握含參量正常積分的求導(dǎo)法則.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明;含參量正常積分的導(dǎo)數(shù)的計算.

(1) 基本要求：了解含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明，熟練掌握含參量正常積分的導(dǎo)數(shù)的計算公式.

(2) 較高要求：掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須理解含參量正常積分的定義.

(2) 要求較好學(xué)生掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明

§2 含參量反常積分

(一) 教學(xué)目的：掌握含參量反常積分的一致收斂性概念，含參量反常積分的性質(zhì)，含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，了解狄里克雷判別法和阿貝爾判別法.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：含參量反常積分的一致收斂性及其判別法;含參量反常積分的性質(zhì);含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法;含參量反常積分的連續(xù)性，可微性與可積性定理.

(1) 基本要求：掌握含參量反常積分的一致收斂性及其判別法，含參量反常積分的性質(zhì)，以及含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法.

(2)掌握和應(yīng)用狄里克雷判別法和阿貝爾判別法.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是含參量反常積分的一致收斂性及魏爾斯特拉斯判別法.要求學(xué)生會用魏爾斯特拉斯判別法判別含參量反常積分的一致收斂性.

(2) 本節(jié)的難點是狄里克雷判別法和阿貝爾判別法以及含參量反常積分的連續(xù)性，可微性與可積性定理的證明.對較好學(xué)生在這方面提出高要求，布置有關(guān)習(xí)題;另外，由于這方面內(nèi)容與函數(shù)項級數(shù)部分有類似之處，還可要求他們作比較與總結(jié).

§3 歐拉積分

(一) 教學(xué)目的：了解

函數(shù)與

函數(shù)的定義.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：

函數(shù)與

函數(shù)的定義;

函數(shù)與

函數(shù)的聯(lián)系.

(1) 基本要求：了解

函數(shù)與

函數(shù)的定義與有關(guān)性質(zhì).

(2) 較高要求：了解

函數(shù)與

函數(shù)的關(guān)系公式.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生了解

 

 

函數(shù)與

 

 

函數(shù)的定義和性質(zhì)，可適量布置有關(guān)習(xí)題.

(2) 對較好學(xué)生可布置有關(guān)

 

 

函數(shù)與

 

 

函數(shù)的關(guān)系公式的習(xí)題.

第二十章 曲線積分

§1 第一型曲線積分

(一) 教學(xué)目的：掌握第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式.

基本要求：掌握第一型曲線積分的定義,性質(zhì)及計算公式.

(三) 教學(xué)建議：要求學(xué)生必須熟練掌握第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式.

§2 第二型曲線積分

(一) 教學(xué)目的：掌握第二型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：第二型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式.

(1) 基本要求：掌握第二型曲線積分的定義和計算公式，了解第一、第二型曲線積分之間的關(guān)系.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須掌握第二型曲線積分的定義和計算公式.

(2) 兩類曲線積分的聯(lián)系有一定的難度，可要求較好學(xué)生掌握，并布置這方面習(xí)題.

第二十一章 重積分

§1 二重積分概念

(一) 教學(xué)目的：掌握二重積分的定義和性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：二重積分的定義和性質(zhì).

(1) 基本要求：掌握二重積分的定義和性質(zhì)，二重積分的充要條件，了解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的可積性.

(2) 較高要求：平面點集可求面積的充要條件.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須掌握二重積分的定義和性質(zhì)，知道有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積.由于二元函數(shù)可積的充要條件與定積分類似，這方面的內(nèi)容可作簡略介紹.

(2) 對較好學(xué)生可詳細講述二元函數(shù)可積的充要條件的證明，并布置有關(guān)習(xí)題.

§2 直角坐標(biāo)下二重積分的計算

(一) 教學(xué)目的：掌握直角坐標(biāo)下二重積分的計算公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：二重積分化為累次積分;累次積分的積分次序的交換.

(1) 基本要求：掌握二重積分化為累次積分的方法和累次積分的積分次序的交換公式.理解二重積分的變量替換定理的內(nèi)容,會用變量替換定理求解簡單的二積分特別要求會用極坐標(biāo)變換和柱坐標(biāo)變換.

(2)了解重積分在幾何和物理上的應(yīng)用.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須熟練掌握直角坐標(biāo)下二重積分的計算公式.

(2) 對較好學(xué)生要求掌握二重積分化為累次積分公式的證明.

§3 格林公式，曲線積分與路線無關(guān)性

(一) 教學(xué)目的：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關(guān)的條件.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：格林公式;曲線積分與路線無關(guān)的條件.

(1) 基本要求：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關(guān)的條件，理解格林公式以及曲線積分與路線無關(guān)的條件的定理的證明.

(2) 較高要求：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關(guān)的條件定理應(yīng)用的特殊技巧.

(三) 教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生必須熟練掌握格林公式以及曲線積分與路線無關(guān)的條件，并應(yīng)用格林公式化二重積分為曲線積分和化曲線積分為二重積分，使他們懂得在什么情況下進行變換可帶來方便.

(2) 對較好學(xué)生要求掌握在應(yīng)用格林公式以及曲線積分與路線無關(guān)的條件的定理時掌握“挖”“補”等某些特殊技巧.

§4 二重積分的變量變換.

(一) 教學(xué)目的：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握用極坐標(biāo)計算二重積分.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：二重積分的一般的變量變換公式;極坐標(biāo)變換公式.

(1) 基本要求：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握二重積分的極坐標(biāo)變換.

(2) 較高要求：理解二重積分的一般的變量變換公式的證明.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是極坐標(biāo)變換公式，要求學(xué)生必須熟練掌握.

(2) 本節(jié)的難點是二重積分的一般的變量變換公式的證明，可要求較好學(xué)生了解.

§5 三重積分

(一) 教學(xué)目的：掌握三重積分的定義和性質(zhì).

(二) 教學(xué)內(nèi)容：三重積分的定義和性質(zhì);三重積分的積分換元法;柱面坐標(biāo)變換;球面坐標(biāo)變換.

基本要求：掌握三重積分的定義和性質(zhì)，熟練掌握化三重積分為累次積分，及用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換計算三重積分的方法.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須掌握三重積分的定義和性質(zhì)，知道有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積.由于三重積分的定義與性質(zhì)及充要條件與二重積分類似，可作扼要敘述與比較.

(2) 對較好學(xué)生可布置這節(jié)的廣義極坐標(biāo)的習(xí)題.

§6 重積分的應(yīng)用

(一) 教學(xué)目的：學(xué)會用重積分計算曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量與引力.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：曲面面積的計算公式;物體重心的計算公式;轉(zhuǎn)動慣量的計算公式;引力的計算公式.

基本要求：掌握曲面面積的計算公式，了解物體重心的計算公式，轉(zhuǎn)動慣量的計算公式和引力的計算公式.

(三) 教學(xué)建議：

要求學(xué)生必須掌握曲面面積的計算公式，物體重心的計算公式，轉(zhuǎn)動慣量的計算公式和引力的計算公式，并且布置這方面的的習(xí)題.

第二十二章 曲面積分

§1 第一型曲面積分

(一) 教學(xué)目的：掌握第一型曲面積分的定義和計算公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：第一型曲面積分的定義和計算公式.

(1) 基本要求：掌握第一型曲面積分的定義和用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分計算公式.

(2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計算公式.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 要求學(xué)生必須熟練掌握用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分的定義和計算公式.

(2) 對較好學(xué)生要求他們掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計算公式.

§2 第二型曲面積分

(一) 教學(xué)目的：掌握第二型曲面積分的定義和計算公式.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：曲面的側(cè);第二型曲面積分的定義和計算公式.

(1) 基本要求：掌握用顯式方程的第二型曲面積分的定義和計算公式.

(2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第二型曲面積分計算公式，掌握兩類曲面積分的聯(lián)系.

(三) 教學(xué)建議：

(1) 本節(jié)的重點是要求學(xué)生必須掌握第二型曲面積分的定義和計算公式，要強調(diào)一、二型曲面積分的區(qū)別，要講清確定有向曲面?zhèn)鹊闹匾��?

(2) 本節(jié)的難點是用隱式方程或參數(shù)方程給出的曲面的第二型曲面積分的計算公式以及兩類曲面積分的聯(lián)系，可對較好學(xué)生要求他們掌握.

§3 高斯公式與斯托克斯公式

(一) 教學(xué)目的：學(xué)會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分.

(二) 教學(xué)內(nèi)容：高斯公式;斯托克斯公式;沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件.

(1) 基本要求：學(xué)會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分.

懂得高斯公式與斯托克斯公式證明的思路，掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件.

(2) 較高要求：應(yīng)用高斯公式與斯托克斯公式的某些特殊技巧.

(三) 教學(xué)建議：本節(jié)的重點是要求學(xué)生學(xué)會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分.要講清應(yīng)用兩公式的條件并強調(diào)曲面與曲面的邊界定向的關(guān)系.