2019年深圳大學715數學分析考研初試大綱

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一、考試的基本要求

《數學分析》考試大綱適用于報考深圳大學基礎數學、應用數學專業碩士研究生的入學考試。本考試是為招收基礎數學、應用數學專業碩士生而擬設的具有選拔功能的考試。其主要目的是測試考生對數學分析最基本內容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數學分析的基本理論、掌握數學分析的基本方法,具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。

二、考試內容和考試要求

1.極限與連續

數列極限、函數極限、函數的連續性和一致連續性、閉區間上連續函數的性質。

(1)掌握數列極限與函數極限的概念，理解無窮大(小)量的概念及基本性質;

(2)掌握極限的性質(唯一性、有界性、保號性)及四則運算性質、單調有界收斂定理、Cauchy收斂準則、迫斂性(兩邊夾、夾擠)原理、兩個重要極限;

(3)掌握函數的奇偶性、單調性、周期性、有界性等特殊性質;

(4)掌握連續性的概念及間斷點的分類，掌握初等函數的連續性;

(5)掌握閉區間上連續函數的性質：有界性、最值性、介值性(零點定理)、一致連續性。

2.一元函數微分學

導數、微分、求導運算與法則、微分運算、微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式、函數單調性、極值與最值、凸性與拐點。

(1)理解可導與可微、可導與連續的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義;理解函數極值點與極值、凸性、拐點等概念;

(2)掌握(高階)導數、微分的四則運算與復合函數求導運算法則，掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法，掌握導函數的介值定理;

(3)會用導數研究函數的單調性與極值性，會用二階導數研究函數的凸性與拐點;

(4)掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限(洛必達法則)等方面的應用;

(5)掌握泰勒公式及其在極限、極值點判定等方面的應用;

(6)掌握極值與最值的求法、凸的等價定義、以及凸性在不等式等方面的應用。

3.實數的完備性

區間套、聚點、開覆蓋的概念。

(1)理解聚點概念及其刻畫，理解區間套、開覆蓋等概念;

(2)理解關于實數完備性的六大基本定理及其證明思想;

(3)會用實數完備性定理證明閉區間上連續函數的有界性、最值性、介值性(零點定理)、一致連續性。

4.一元函數積分學

不定積分、定積分、換元法與分部積分法、牛頓萊布尼茲公式、變上限積分、積分中值定理、定積分在幾何中的應用、無窮積分、瑕積分。

(1)掌握原函數、不定積分的概念及其基本性質;

(2)熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的積分;

(3)掌握定積分的概念、可積條件、可積函數類;

(4)掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理;

(5)掌握變上限積分的性質;

(6)能用定積分計算平面圖形的面積、弧長、旋轉體的體積與側面積;

(7)理解廣義積分收斂的概念、Cauchy收斂準則，掌握廣義積分收斂性的比較判別法，無窮積分的狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。

5.無窮級數

數項級數、絕對收斂和條件收斂、判別法、函數項級數、一致收斂、冪級數、收斂半徑、收斂域、(冪級數)泰勒級數、傅立葉級數。

(1)理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質;

(2)掌握正項級數的比較判別法和根式判別法;

(3)掌握任意項級數的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法;

(4)掌握函數項級數(函數列)一致收斂性判別法、一致收斂函數項級數(函數列)的性質;

(5)掌握冪級數收斂半徑與收斂域的概念與求法、冪級數的性質，能夠將函數展開為冪級數;

(6)掌握周期函數傅立葉級數的展開與收斂性。

6.多元函數微分學

多元函數的極限與連續、全微分、(高階)偏導數、方向導數、泰勒公式、隱函數求導及幾何應用。

(1)掌握多元函數極限、偏導數、全微分、方向導數的概念及其求法;

(2)掌握高階偏導數的計算、低階泰勒公式的計算;

(3)掌握多元函數的極值、條件極值的概念及其判別;

(4)掌握隱函數求導方法及其幾何應用。

7.含參變量積分

含參變量正常積分，含參變量反常積分、格馬函數、貝塔函數

(1)掌握含參變量正常積分的分析性質;

(2)掌握含參變量反常積分的一致收斂性及判別法;

(3)掌握含參變量反常積分的分析性質;

(4)掌握格馬函數與貝塔函數的性質與相互關系;

8.重積分、曲線積分和曲面積分

重積分、重積分計算、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

(1)理解重積分、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分的概念、基本性質與幾何意義;

(2)掌握二重積分與三重積分的常用計算方法及幾何應用;

(3)掌握第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分的計算;

(4)掌握并能運用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。

三、考試的基本題型

主要題型可能有：判斷題、填空題、計算題、證明題等。試卷滿分為150分。