2019年湖北師范大學801高等代數考研大綱

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2019年全國碩士研究生入學考試

湖北師范大學自命題考試科目考試大綱

(科目名稱：高等代數 科目代碼：801)

一、考查目標

《高等代數》考試是為招收數學各專業碩士研究生而設置的業務水平考試。目的是測試考生對高等代數基礎知識的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力和熟練程度。要求考生理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法，具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試形式與試卷結構

(一)試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

(二)答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

(三)試卷題型，題量，結構

題型：計算題，證明題。

題量：11-13大題。

結構：計算與證明的綜合。

(四)主要參考書目

北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，《高等代數》，高等教育出版社，2002年。

三、考查范圍

(一)多項式

整除理論：整除性;帶余除法;最大公因式;互素的概念與性質。

因式分解理論：不可約多項式;因式分解定理;重因式;實系數與復系數多項式的因式分解;有理系數多項式不可約的判定。

根的理論：多項式的根;有理系數多項式的有理根求法。

(二)行列式

行列式的定義、性質;行列式的子式、代數余子式及展開定理;行列式的計算方法。

(三)向量和矩陣

向量：向量的線性組合和線性表示;向量組的等價;向量組的線性相關與線性無關;向量組的極大線性無關組;向量組的秩;向量組的秩與矩陣的秩之間的關系。

矩陣：矩陣的概念;矩陣的基本運算;矩陣的轉置;伴隨矩陣;初等變換與初等矩陣;逆矩陣的概念和性質;矩陣可逆的充分必要條件;分塊矩陣;矩陣的秩;矩陣的等價、合同、相似;矩陣的對角化。

(四)線性方程組

克萊姆(Cramer)法則;齊次線性方程組有非零解的充分必要條件;非齊次線性方程組有解的充分必要條件;線性方程組解的性質和結構;齊次線性方程組的基礎解系和通解;解空間及其維數;非齊次線性方程組的通解。

(五)二次型

二次型及其矩陣表示;二次型的標準形與合同變換;復數域與實數域上二次型的標準形、規范形;慣性定理;二次型及實對稱矩陣的正定性。

(六)線性空間

線性空間的概念與基本性質;線性空間的維數、基與向量的坐標;基變換與坐標變換;過渡矩陣;線性子空間及其運算;線性空間的同構。

(七)線性變換

線性變換的概念、性質和運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值、特征向量;線性變換的值域與核;不變子空間。

(八)歐氏空間

內積的定義及性質;正交基、標準正交基;施密特正交化過程;正交變換與正交矩陣;子空間的正交;正交補;歐氏空間同構的概念與性質。