2019年湖北師范大學(xué)801高等代數(shù)考研大綱

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2019年全國碩士研究生入學(xué)考試

湖北師范大學(xué)自命題考試科目考試大綱

(科目名稱：高等代數(shù) 科目代碼：801)

一、考查目標(biāo)

《高等代數(shù)》考試是為招收數(shù)學(xué)各專業(yè)碩士研究生而設(shè)置的業(yè)務(wù)水平考試。目的是測試考生對高等代數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力和熟練程度。要求考生理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法，具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

(一)試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

(二)答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

(三)試卷題型，題量，結(jié)構(gòu)

題型：計(jì)算題，證明題。

題量：11-13大題。

結(jié)構(gòu)：計(jì)算與證明的綜合。

(四)主要參考書目

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，《高等代數(shù)》，高等教育出版社，2002年。

三、考查范圍

(一)多項(xiàng)式

整除理論：整除性;帶余除法;最大公因式;互素的概念與性質(zhì)。

因式分解理論：不可約多項(xiàng)式;因式分解定理;重因式;實(shí)系數(shù)與復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解;有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定。

根的理論：多項(xiàng)式的根;有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根求法。

(二)行列式

行列式的定義、性質(zhì);行列式的子式、代數(shù)余子式及展開定理;行列式的計(jì)算方法。

(三)向量和矩陣

向量：向量的線性組合和線性表示;向量組的等價(jià);向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān);向量組的極大線性無關(guān)組;向量組的秩;向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。

矩陣：矩陣的概念;矩陣的基本運(yùn)算;矩陣的轉(zhuǎn)置;伴隨矩陣;初等變換與初等矩陣;逆矩陣的概念和性質(zhì);矩陣可逆的充分必要條件;分塊矩陣;矩陣的秩;矩陣的等價(jià)、合同、相似;矩陣的對角化。

(四)線性方程組

克萊姆(Cramer)法則;齊次線性方程組有非零解的充分必要條件;非齊次線性方程組有解的充分必要條件;線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu);齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解;解空間及其維數(shù);非齊次線性方程組的通解。

(五)二次型

二次型及其矩陣表示;二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與合同變換;復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形;慣性定理;二次型及實(shí)對稱矩陣的正定性。

(六)線性空間

線性空間的概念與基本性質(zhì);線性空間的維數(shù)、基與向量的坐標(biāo);基變換與坐標(biāo)變換;過渡矩陣;線性子空間及其運(yùn)算;線性空間的同構(gòu)。

(七)線性變換

線性變換的概念、性質(zhì)和運(yùn)算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量;線性變換的值域與核;不變子空間。

(八)歐氏空間

內(nèi)積的定義及性質(zhì);正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基;施密特正交化過程;正交變換與正交矩陣;子空間的正交;正交補(bǔ);歐氏空間同構(gòu)的概念與性質(zhì)。