2019年華南農業(yè)大學848數(shù)學分析考研大綱及參考書目

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從華南農業(yè)大學研究生院獲悉，2019年華南農業(yè)大學848數(shù)學分析考試大綱及參考書目公布，內容如下：

一、考試性質

華南農業(yè)大學碩士研究生入學數(shù)學分析考試是為招收理學類碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數(shù)學素質，包括對數(shù)學分析各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。考試對象為參加全國碩士研究生入學考試、報考數(shù)學專業(yè)的考生。

二、考試方式和考試時間

數(shù)學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 3 小時。

三、試卷結構

1、填空、選擇題：占總分的 50 分左右，內容為概念和基本計算，主要覆蓋本門課程的各部分知識點。

2、計算或解答題：占總分的 70 分左右，主要為各部分的重要計算題、應用題 。

3、證明題：占總分的 30 分左右。

四、考試內容和考試要求

（一） 實數(shù)集與函數(shù)

考試內容：

實數(shù)性質 確界原理 函數(shù)概念及其性質 數(shù)列極限概念及性質 數(shù)列極限存在的條件考試要求：

1.了解實數(shù)域及性質

2.掌握幾種主要不等式及應用。

3.熟練掌握領域，上確界，下確界，確界原理。

4.牢固掌握函數(shù)復合、基本初等涵數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）。

（二）數(shù)列極限

考試內容：數(shù)列極限的定義 收斂數(shù)列的若干性質 數(shù)列收斂的條件

考試要求：

1．熟練掌握數(shù)列極限的定義。

2．掌握收斂數(shù)列的若干性質（惟一性、保序性等）。

3．掌握數(shù)列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。

（三）函數(shù)極限

考試內容：函數(shù)極限的概念及性質 函數(shù)極限的條件 兩個重要極限 無窮小量與無窮大量

考試要求：

熟練掌握使用“ε-δ”語言，敘述各類型函數(shù)極限。

1.掌握函數(shù)極限的若干性質。

2.掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界）。

3.熟練應用兩個特殊極限求函數(shù)的極限。

4.牢固掌握無窮小（大）的定義、性質、階的比較。

（四）函數(shù)連續(xù)性

考試內容：連續(xù)性的定義 間斷點定義及分類 連續(xù)函數(shù)的性質 一致連續(xù) 反函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)的連續(xù)性

1.熟練掌握在 X0 點連續(xù)的定義及其等價定義。

2.掌握間斷點定以及分類。

3.了解在區(qū)間上連續(xù)的定義，能使用左右極限的方法求極限。

4.掌握在一點連續(xù)性質及在區(qū)間上連續(xù)性質。

5.了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五） 導數(shù)與微分

考試內容：

導數(shù)的概念 幾何意義 求導法則 含參變量的導數(shù) 高價導數(shù) 微分的定義、運算法則及應用

考試要求：

1.熟練掌握導數(shù)的定義，幾何、物理意義。

2.牢固記住求導法則、求導公式。

3.會求各類的導數(shù)（復合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導數(shù)（萊布尼茲公式））。

4.掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算。

5.深刻理解連續(xù)、可導、可微之關系。

（六） 微分中值定理及其運用

考試內容：

羅爾定理 拉格朗日定理 單調函數(shù) 柯西中值定理 不定式極限 泰勒中值定理 函數(shù)的極值和最值 函數(shù)的凸凹性 拐點 漸進線 近似解

考試要求：

1.牢固掌握微分中值定理及應用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。

2.會用洛比達法則求極限，（掌握如何將其他類型的不定型轉化為 0/0 型）。

3.掌握單調與符號的關系，并用它證明 f(x)單調，不等式、求單調區(qū)間、極值等。

4.利用判定凹凸性及拐點。

5.了解凸函數(shù)及性質

6.會求曲線各種類型的漸近線性。

7.了解方程近似解的牛頓切線法。

（七）實數(shù)的完備性

考試內容：

實數(shù)完備性基本定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的證明 上極限和下極限考試要求：

1.掌握下列基本概念：區(qū)間套、柯西列、聚點、予列。

2.了解刻劃實數(shù)完備性的幾個定理的等階性，并掌握各定理的條件與結論。

3.學會用上述定理證明其他問題，如連續(xù)函數(shù)性質定理等。

（八） 不定積分

考試內容：

原函數(shù)與不定積分 換元積分法 分部積分法 有理函數(shù)積分 可化為有理函數(shù)的積分考試要求：

1.掌握原函數(shù)與不定積分的概念。

2.記住基本積分公式。

3.熟練掌握換元法、分部積分法。

4.了解有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。

（九）定積分

考試內容：

定積分的概念 牛頓-萊布尼茲公式 可積條件 定積分的性質 微積分基本定理 定積分的計算 變限積分 換元積分法 分部積分法 可積充要條件

考試要求：

1.掌握定積分定義、性質。

2.了解可積條件，可積類。

3.深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

4.熟練計算定積分。

（十）定積分應用

考試內容：

平面圖形的面積、平面曲線的弧長；已知平行截面面積的立體的體積、旋轉曲面的面積 微元法 積分在物理中的某些應用 定積分的近似計算。

考試要求：

1.熟練計算各種平面圖形面積。

2.會求旋轉體或已知截面面積的體積。

3.會利用定積分求孤長、曲率、旋轉體的側面積。

4.會用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。

（十一）反常積分

考試內容：

反常積分（無窮積分、暇積分）的定義及性質 收斂判別法考試要求：

1.理解兩種類型反常積分的定義、性質.

2.會用定義與性質計算兩種反常積分值。

3.掌握兩種反常積分收斂的判斷法：比較判別法、Cauchy 判別法、Abel 判別法和 Dirichlet 判別法來判別積分收斂。

4.能用比較判別法、Cauchy 判別法、Cauchy 收斂原理判別反常積分的斂散性。

5.掌握兩類積分絕對收斂和條件收斂概念。

(十二)數(shù)項級數(shù)

考試內容：

數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質 正項級數(shù)的斂、散判別法 條件、絕對收斂 萊布尼茲定理考試要求：

1.理解數(shù)項級數(shù)和數(shù)列極限的關系，會用“ -N”語言表述級數(shù)收斂或發(fā)散。

2.掌握 Cauchy 收斂原理，能用 Cauchy 原理證明級數(shù)收斂與發(fā)散，熟練掌握級數(shù)的必要條件。

3.掌握正項級數(shù)斂散的比較原則，Cauchy 判別法，達朗貝爾判別法，Cauchy 積分判別法。

4.掌握 Leibniz 判別法，Abel 判別法和 Dirichlet 判別法，判斷級數(shù)的條件收斂。

5.理解級數(shù)收斂、絕對收斂、條件收斂之間的關系，了解絕對收斂和條件收斂級數(shù)的主要性質，

會對含有一個參數(shù)的級數(shù)確定其絕對收斂域和條件收斂域。

(十三) 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

考試內容：

函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的定義 一致收斂性判別的柯西準則 魏爾斯特拉斯判別法 一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性的判別 可積性的判別 可微性的判別

考試要求：

1.能用數(shù)項級數(shù)收斂判別法討論函數(shù)項級數(shù)的收斂性，研究函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列收斂域。

2.理解一致收斂概念，能從定義出發(fā)證明函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的一致收斂和非一致收斂。

3.掌握 Cauchy 收斂原理，并能應用于判別一致收斂與非一致收斂。

4.掌握各種判別法，研究函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。

5.利用一致收斂性證明極限函數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性。反過來，從和函數(shù)或極限函

數(shù)的分析性質研究函數(shù)項級數(shù)或函數(shù)列的一致收斂性（Dini 定理）。

（十四）冪級數(shù)

教學內容:

冪級數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間、收斂域的定義與求法 泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)展開式的定義 五種基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開

考試要求：

1.熟練冪級數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。

2.了解冪級數(shù)的若干性質。

3.了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數(shù)的馬克勞林展式。

4.會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。

(十五) 付里葉級數(shù)

教學內容:

三角級數(shù) 正交函數(shù)系 傅里葉級數(shù)定義 傅里葉級數(shù)的收斂定理 對以 2l 為周期的函數(shù)作傅葉級數(shù)展開的基本方法 偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開 正弦級數(shù) 余弦級數(shù) 貝塞爾不等式 黎曼勒貝格定理 收斂定理

考試要求：

1.熟記付里葉系數(shù)公式，并會求之。

2.掌握以 2π為周期函數(shù)的付里葉展式。

3.理解掌握定義在（0,1）上的函數(shù)可以展成余弦級數(shù)，正弦級數(shù)，一般付里葉級數(shù)。

4.了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。

（十六）多元函數(shù)極限與連續(xù)

考試內容:

平面點集概念（鄰域、內點、界點、開集、閉集、開域、閉域） 平面點集的基本定理二元函數(shù)概念 二重極限 累次極限 二元函數(shù)的連續(xù)性 復合函數(shù)的連續(xù)性定理 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質

考試要求：

1.了解平面點集的若干概念。

2.掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質。

3.掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。

4.掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質。

5.了解二元函數(shù)關于兩個變量全體連續(xù)與分別連續(xù)的關系。

（十七）多元函數(shù)微分學

考試內容：

偏導數(shù)及其幾何意義 全微分概念 全微分的幾何意義 全微分存在的充分條件 全微分在近似計算中的應用 復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 一階微分形式不變性 方向導數(shù)與梯度 混合偏導數(shù)與其順序無關性 高階導數(shù) 高階微分 二元函數(shù)的泰勒定理 極值問題

考試要求：

1.熟練掌握，可微，偏導的意義。

2.掌握二元函數(shù)可微，偏導，連續(xù)以及偏導函數(shù)連續(xù)，概念之間關系。

3.會計算各種類型的偏導，全微分。

4.會求空間曲面的切平面，法線,空間曲線的法平面與切線。

5.會求函數(shù)的方向導數(shù)與梯度。

6.會求二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應用

考試內容：

隱函數(shù)定理及其應用 隱函數(shù)求導 隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導、反函數(shù)組與坐標變換 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

考試要求：

1.理解隱函數(shù)定理的有關概念，及隱函數(shù)存在的條。

2.了解隱函數(shù)組，反函數(shù)組的有關概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件。

3.掌握隱函數(shù)的微分法在幾何方面的應用，會把實際問題抽象為條件極值并予以解決。

（十九） 含參量積分

考試內容：

含參變量積分連續(xù)性、可微性和可積性的條件 含參量廣義積分及一致收斂概念 M－判別法、Dirichlet 判別法、Abel 判別法，判別一些常見積分的一致收斂性 含參量廣義積分連續(xù)性、可微性、可積性 Euler 積分的定義、性質

考試要求：

1.理解含參變量常見積分作為參量的函數(shù)，掌握它的連續(xù)性、可微性和可積性的條件，并能應用這些條件討論一些含參量常見積分的有關性質

2.理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會從定義或 Cauchy 收斂原理出發(fā)證明積分的一致收斂性或非一致收斂性

3.掌握和利用 M－判別法、Dirichlet 判別法、Abel 判別法，判別一些常見積分的一致收斂性；

4.掌握含參量廣義積分的分析性質：連續(xù)性、可微性、可積性；

5.了解 Euler 積分的定義、性質、遞推公式及它們之間的關系，并用于計算積分。

（二十）曲線積分

考試內容：

第一型曲線積分的定義及計算 第二型曲線積分的定義及計算 兩類曲線積分的關系考試要求：

1.掌握第一型曲線積分的定義、第一型曲線積分的計算、第二型曲線積分的定義、第二型曲線積分的計算。

2.了解第一型曲線積分的意義、第二型曲線積分的意義，掌握兩類曲線積分的關系。

（二十一 ）重積分

考試內容：

二重積分定義與存在性 二重積分性質 二重積分計算（化為累次積分） 二重積分的換元法（極坐標與一般變換）格林公式 三重積分定義與計算 三重積分的換元法（柱坐標、球坐標與一般變換）重積分應用（體積，曲面面積，重心、轉動慣量、引力等）

考試要求：

1.掌握將重積分化為累次積分的計算方法，并會交換積分順序.

2.掌握二重積分的極坐標變換，三重積分的柱坐標、球坐標變化，掌握一些簡單的一般變換，

以達到簡化重積分計算的目的

3.能正確地使用對稱性；正確地處理被積函數(shù)中含有絕對值符號及一般分段函數(shù)的重積分計算。

4.能用重積分計算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質量、重心、轉動慣量等。

5.掌握格林公式。

（二十二） 曲面積分

考試內容：

第一型曲面積分的概念、幾何意義、計算方法 第一型曲面積分的概念、幾何意義、計算方法 第二型曲面積分的定義、物理意義、計算 兩類曲面積分的聯(lián)系 Gauss 公式 Stokes 公式

考試要求：

1.掌握第一型曲面積分的概念、幾何意義和計算

2.理解曲面的側，熟練掌握第二型曲面積分的定義、物理意義和計算，了解兩類曲面積分的聯(lián)系

3.掌握 Gauss 公式與 Stokes 公式