2021年北京科技大學825高等代數考研大綱

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《高等代數I》考試大綱

一、 考試性質與范圍

高等代數是高等學校數學專業的基礎課之一，主要研究線性空間的理論，也兼顧一部分多項式和代數基本知識，考試內容主要包括矩陣、行列式和線性空間等相關理論。要求學生對相關的概念把握清楚，在此基礎上展開對相關理論和問題的分析處理。

二、測試考生對于高等代數相關基本概念、基礎理論的掌握和運用能力。

三、考試方式與分值

1. 試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。

2. 答題方式為閉卷、筆試。不允許使用計算器。

四.考試內容

1.集合及運算，等價關系，映射、數域;

2. 多項式

帶余除法，整除性，最大公因式的定義、性質、算法，多項式的唯一分解定理，重因式及其判斷方法、不可約多項式及性質，余式定理及其應用，代數學基本定理，復系數、實系數多項式在相應數域中的分解形式，根與系數的關系定理，本原多項式，Gauss引理，Eisenstein判別法.

3.矩陣

矩陣的基本運算，矩陣的初等變換，矩陣的相抵和標準形、矩陣的逆及其計算，矩陣的分塊運算，矩陣的秩和秩的基本性質.

4. 線性空間

線性空間的概念及重要的線性空間實例，向量的線性相關、線性無關，基、維數的概念、坐標變換和過渡矩陣，線性子空間的條件，子空間的和與交和直和的等價條件，線性空間的同構

5.線性變換

線性映射的定義及矩陣表示，線性映射的像與核，基和維數的關系，線性變換的定義及矩陣表示，線性變換的運算，不變子空間的定義及相關結論，線性變換的特征值與特征向量的定義與性質，矩陣對角化.

6. 歐氏空間

內積，度量矩陣、標準正交基，正交化和正交子空間，正交變換，對稱變換

7. 二次型

二次型，二次型的標準形，正定二次型及半正定等充要條件.

8. 線性方程組

Gauss消元法、線性方程組的解的結構及求解方法.

9. 行列式

逆序，行列式性質與計算，Crame法則.

10. 相似標準形

特征值與特征向量的計算，對稱矩陣的標準形的計算，特征多項式與最小多項式，矩陣對角化的條件，Jordan標準形，λ-矩陣，初等因子，不變因子

五、教材與參考書

教材

1. 申亞男、李為東編著，《高等代數》，機械工業出版社，2015年9月第1版

2.北京大學幾何與代數教研室代數小組編，《高等代數》，高等教育出版社1991，第3版

參考書

3. 許以超編，《線性代數與矩陣論》，高等教育出版社，1992年，第1版

4. 屠伯塤, 徐誠浩, 王芬編，《高等代數》，上海科技出版社，1987年，第1版

5. 丘維聲編，《高等代數》，高等教育出版社，1996年，第1版