2023年南京郵電大學602《數學分析》考試大綱

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《數學分析》考試大綱

一、基本要求

掌握數學分析中極限論、一元微積分學、級數論、多元微積分和含參變量積分等基本內容，透徹理解基本概念、基本理論和基本方法，了解概念和理論的背景和幾何或物理意義，具有較強的邏輯思維能力、推理論證能力以及熟練的演算技能技巧，具備應用數學分析解決實際問題的能力。

二、考試范圍

1、極限與連續

(1) 透徹理解和掌握數列極限、函數極限的概念，熟練掌握ε-N，ε-X，ε-δ語言解決極限問題。

(2) 熟練掌握收斂數列的性質和數列極限的存在條件(Stolz定理，單調有界準則，夾逼定理，柯西收斂準則)。熟練掌握函數極限的性質和利用兩個重要極限處理極限計算。

(3) 理解無窮小量和無窮大量的定義、性質和關系，掌握無窮小量階的比較和方法。

(4) 理解掌握一元函數連續性、間斷點及其分類，掌握連續函數的局部性質和單側連續。

(5) 掌握閉區間上連續函數的性質(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性)和初等函數的連續性;理解復合函數的連續性、反函數的連續性。

(6) 掌握實數連續性定理(閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、Bolzano-Weierstrass定理)。

(7) 理解二元函數的極限、累次極限和連續性;掌握歐氏空間上的基本定理和多元連續函數的性質;理解二重極限與特殊路徑極限的關系。

(8) 掌握數列的上、下極限。

2、微分學

(1) 理解和掌握導數與微分概念及其幾何意義，熟練運用導數的運算性質和求導法則。

(2) 理解單側導數、可導性與連續性的關系，掌握高階導數的求法、導數的幾何應用和微分在近似計算中的應用。

(3) 熟練掌握中值定理的內容、證明及其應用，掌握函數泰勒展開及其在近似計算中的應用。

(4) 能熟掌握洛必達法則和函數基本特性(單調性、極值與最值、凹凸性、拐點及漸近線)判定方法。

(5) 熟練掌握多元函數偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數、極值等概念，理解全微分、偏導數、連續之間的關系，理解多元函數泰勒公式，掌握多元函數極值的求法。

(6) 理解隱函數的存在定理，掌握隱函數的偏導、曲線的切線、法平面方程的求法，熟練掌握條件極值求法。

3、積分學

(1) 理解不定積分概念，熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法。

(2) 理解定積分、Darboux和、上下積分及函數可積條件，熟悉一些可積分函數類，熟練掌握定積分的基本性質和積分學基本定理、積分第一二中值定理、換元積分法、分部積分法等。

(3) 熟練掌握定積分的幾何應用以及在物理上的應用，掌握"微元法"。

(4) 掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等，熟練掌握兩類反常積分的比較判別法、阿貝爾判別法和狄利克萊判別法判別反常積分的收斂性;了解兩類反常積分的計算。

(5) 掌握二重、三重積分的性質，熟練掌握重積分的計算及其在求面積體積質量等方面的應用。

(6) 掌握兩類曲線積分的概念和性質，掌握兩類曲面積分的性質和曲面積分計算，熟練掌握格林公式應用。

(7) 熟練掌握Gauss公式、Stokes公式及其應用。

(8) 了解場論中梯度、散度、環量、旋度、保守場和勢函數等概念，掌握保守場的判別條件。

4、級數論

(1) 理解掌握數項級數的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念，熟練掌握收斂級數的性質和正項級數與任意項級數的斂散性判別法，掌握幾何級數、調和級數與p級數的性質。

(2) 掌握函數項級數與函數序列的收斂、一致收斂概念，熟練掌握極限函數與和函數的分析性質和函數項級數(數列)的一致收斂性判別。

(3) 理解冪級數、函數的冪級數的概念，掌握冪級數的性質，熟練掌握冪級數收斂半徑與收斂域求法以及函數的冪級數展開方法。

(4) 理解三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數展開，掌握傅里葉級數收斂性判別法，熟練掌握函數展開成傅里葉級數的方法。

5、含參變量積分

(1) 掌握含參變量定積分的概念與性質。

(2) 理解含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念，掌握含參變量廣義積分一致收斂的判別法。