2024年山東理工大學(xué)608數(shù)學(xué)分析考研大綱及參考書

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科目代碼：608 科目名稱：數(shù)學(xué)分析

考試范圍：

一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容：確界、函數(shù)。

考試要求：(1)理解確界概念、確界原理、函數(shù)定義;(2)掌握確界及函數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算。

二、數(shù)列極限

考試內(nèi)容：數(shù)列極限，收斂數(shù)列性質(zhì)，數(shù)列極限存在法則，柯西收斂準(zhǔn)則。

考試要求：(1)熟練掌握用定義驗(yàn)證簡(jiǎn)單數(shù)列極限的方法;(2)掌握用單調(diào)有界法則、迫斂性定理及性質(zhì)證明數(shù)列極限存在的方法;(3)理解柯西收斂準(zhǔn)則。

三、函數(shù)極限

考試內(nèi)容：函數(shù)極限定義，函數(shù)極限性質(zhì)，歸結(jié)原則(海涅定理)，柯西準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，無窮小量。

考試要求：(1)熟練掌握用定義驗(yàn)證簡(jiǎn)單函數(shù)極限的方法;(2)掌握函數(shù)極限性質(zhì)、歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則;(3)熟練掌握兩個(gè)重要極限;(4)理解無窮小量性質(zhì)。

四、函數(shù)的連續(xù)性

考試內(nèi)容：連續(xù)函數(shù)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，一致連續(xù)。

考試要求：(1)掌握函數(shù)連續(xù)性定義及性質(zhì);(2)熟練掌握用定義驗(yàn)證簡(jiǎn)單函數(shù)在某區(qū)間上是一致連續(xù)或非一致連續(xù)的方法。

五、導(dǎo)數(shù)與微分

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)定義，求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式，高階導(dǎo)數(shù)，微分。

考試要求：(1)掌握導(dǎo)數(shù)定義;(2)掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系;(3)熟練掌握求導(dǎo)法則及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)方法;(4)掌握高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法;(5)理解微分概念。

六、微分中值定理及其應(yīng)用

考試內(nèi)容：中值定理，不定式極限，泰勒公式。

考試要求：(1)熟練掌握微分中值定理;(2)熟練掌握洛必達(dá)法則;(3)理解泰勒定理;(4)熟練掌握函數(shù)單調(diào)性、極值和凹凸性的判別方法。

七、實(shí)數(shù)的完備性

考試內(nèi)容：區(qū)間套定理，聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理。

考試要求：掌握各定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

八、不定積分

考試內(nèi)容：不定積分基本積分公式及運(yùn)算法則，積分法。

考試要求：(1)熟練掌握換元、分部積分法;(2)掌握某些可有理化函數(shù)的不定積分的求法。

九、定積分

考試內(nèi)容：定積分概念，可積函數(shù)類，定積分性質(zhì)，微積分學(xué)基本定理，換元、分部積分法。

考試要求：(1)理解定積分概念;(2)理解可積函數(shù)類及其證明;(3)掌握微積分基本定理;(4)熟練掌握定積分的換元、分部積分法。

十、定積分的應(yīng)用

考試內(nèi)容：平面圖形的面積，平面曲線的弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體體積。

考試要求：(1)熟練掌握平面圖形面積及平面曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算方法;(2)掌握旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積的計(jì)算方法。

十一、反常積分

考試內(nèi)容：反常積分的收斂與發(fā)散，反常積分的計(jì)算。

考試要求：(1)理解反常積分的收斂與發(fā)散;(2)熟練掌握反常積分的絕對(duì)收斂與條件收斂的判定方法。

十二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。

考試要求：(1)掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義;(2)熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷方法;(3)掌握絕對(duì)收斂與條件收斂;(4)理解柯西準(zhǔn)則。

十三、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，柯西準(zhǔn)則，確界判別法，M判別法，極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)。

考試要求：(1)熟練掌握用定義及判別法判斷函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性;(2)掌握極限函數(shù)、和函數(shù)的分析性質(zhì)。

十四、冪級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：阿貝爾定理，收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。

考試要求：(1)掌握阿貝爾定理;(2)掌握一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式;(3)熟練掌握冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求解方法。

十五、傅里葉級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)的展開。

考試要求：(1)理解收斂定理;(2)熟練掌握傅里葉展開式。

十六、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

考試內(nèi)容：二元函數(shù)的極限，局部性質(zhì)，二元函數(shù)的連續(xù)。

考試要求：(1)熟練掌握重極限與累次極限的求解;(2)掌握二元函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的定義;(3)理解二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十七、多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：全微分，偏導(dǎo)數(shù)，高階偏導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)的極值。

考試要求：(1)熟練掌握二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分的定義;(2)熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的求解;(3)理解二元函數(shù)的中值定理和泰勒公式;(4)熟練掌握二元函數(shù)極值的求解。

十八、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

考試內(nèi)容：隱函數(shù)存在定理，隱函數(shù)求導(dǎo)法，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，條件極值。

考試要求：(1)理解隱函數(shù)存在定理;(2)熟練掌握求隱函數(shù)(組)偏導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的方法;(3)掌握切線與法平面、切平面與法線的求解;(4)熟練掌握求條件極值的方法。

十九、含參量積分

考試內(nèi)容：含參變量的定積分，含參變量反常積分，一致收斂，含參變量反常積分的分析性質(zhì)。

考試要求：(1)理解含參量積分的概念與性質(zhì);(2)掌握含參量反常積分一致收斂的判定;(3)熟練掌握含參量積分的求值方法。

二十、曲線積分

考試內(nèi)容：第一型曲線積分，第二型曲線積分。

考試要求：(1)理解兩類曲線積分的概念;(2)熟練掌握兩類曲線積分的計(jì)算。

二十一、重積分

考試內(nèi)容：二重積分，三重積分，曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

考試要求：(1)掌握二、三重積分計(jì)算方法;(2)理解二、三重積分的變量替換定理;(3)熟練掌握格林公式、曲線積分與路徑無關(guān)的條件;(4)熟練掌握極坐標(biāo)及柱面坐標(biāo)變換計(jì)算重積分。

二十二、曲面積分

考試內(nèi)容：第一(二)型曲面積分，高斯公式與斯托克斯公式。

考試要求：(1)理解兩類曲面積分的概念;(2)掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法;(3) 熟練掌握高斯公式的應(yīng)用;(4)理解斯托克斯公式。

參考書目：

《數(shù)學(xué)分析》上、下冊(cè)第五版，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。