2024年南方科技大801線性代數(shù)學(xué)考研考試大綱及參考書目

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從南方科技大學(xué)研究生招生網(wǎng)獲悉，南方科技大學(xué)2024級碩士研究生生入學(xué)考試大綱已發(fā)布，其中801線性代數(shù)考研大綱內(nèi)容如下：

考試科目代碼：801 

考試科目名稱：線性代數(shù)

一、考試要求

1）要求考生熟練掌握線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法。

2）要求考生具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證能力、舉反例能力和基本計(jì)算能力。

3）要求考生具備應(yīng)用線性代數(shù)解決實(shí)際問題能力。

二、考試內(nèi)容

1）多項(xiàng)式

a.多項(xiàng)式無重因式的充要條件，復(fù)數(shù)域及實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解理論。

b.多項(xiàng)式的歐幾里得除法。

2)行列式

a.行列式的概念，行列式的子式，余子式及代數(shù)余子式的概念。

b.行列式的性質(zhì)，按行、列展開定理，Cramer 法則，行列式乘法公式。

c.計(jì)算行列式的基本方法。

3）線性方程組

a.高斯消元法、初等變換求解線性方程組的方法。

b. 向量線性相關(guān)、線性無關(guān)，向量組等價(jià)，極大無關(guān)組，向量組的秩，矩陣的秩，基礎(chǔ)解系，解空間等概念。

c.線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

4)矩陣

a.矩陣，對角矩陣、三角矩陣、對稱陣、反對稱陣的概念及其性質(zhì)。

b.矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律。

c.逆矩陣的概念，逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣的概念，伴隨矩陣的性質(zhì)。

d.矩陣的初等變換，初等矩陣的性質(zhì)，用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。e.分塊矩陣，分塊陣的運(yùn)算及初等變換。

5）二次型

a.二次型的概念及二次型的矩陣表示，二次型秩的概念，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念及慣性定律。

b.用合同變換、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

c.二次型和對應(yīng)矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定及其判別法。

6)線性空間

a.線性空間，子空間，生成子空間，基底，維數(shù)，坐標(biāo)，過渡矩陣，子空間的和與直和等概念。線性空間同構(gòu)的概念。

b.基擴(kuò)張定理，維數(shù)公式，直和的充要條件。

7）線性變換

a.線性變換，特征值，特征向量，特征多項(xiàng)式，特征子空間，不變子空間，線性變 換的矩陣，相似變換，相似矩陣，線性變換的值域與核，Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式等概念與計(jì)算。

b.線性變換的性質(zhì)，相似矩陣的性質(zhì)，核空間與值域的性質(zhì)，不變子空間的性質(zhì)。

Cayley-Hamilton 定理，廣義特征子空間直和分解，最小多項(xiàng)式理論。

c.線性變換的矩陣表示方法，線性變換的特征值、特征向量的方法，矩陣可相似對角化的條件與方法，線性變換與矩陣“互化 ”的思想方法。

8)歐幾里得空間

a. 內(nèi)積，歐氏空間，向量長度、夾角、距離，度量矩陣，標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交補(bǔ)，正交變換，正交陣，對稱變換，同構(gòu)等概念。

b.Schmidt 正交化方法，標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)，正交變換的性質(zhì)，正交陣的性質(zhì)，對稱變換的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)形。

c.實(shí)對稱陣的特征值、特征向量的性質(zhì)，用正交相似變換將實(shí)對稱陣相似（合同）對角化。

d. 向量到子空間的距離和最小二乘法。

e.酉空間的概念和基本性質(zhì)。

三、考試時(shí)間：180 分鐘，滿分：150 分

四、參考書目

《高等代數(shù)》，北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室，高等教育出版社，2013 年，第四版。