2015年考研數學沖刺必背高數定理（三）

考研數學來源：跨考教育 2014-12-09　

第三章中值定理與導數的應用

1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a

3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且F’(x)在(a，b)內的每一點處均不為零，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

5、函數單調性的判定法設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么：(1)如果在(a，b)內f’(x)>0，那么函數f(x)在[a，b]上單調增加；(2)如果在(a，b)內f’(x)

如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f’(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。

6、函數的極值如果函數f(x)在區間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。

在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的駐點卻不一定是極值點。

定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數在x0的導數為零，即f’(x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為正；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為負；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數f(x)在x0處沒有極值。

定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)0時，函數f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區間Ix上連續，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。

定理設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內f’’(x)

判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區間(a，b)內的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。