2016考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：線性方程組的形式

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線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對(duì)象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科。線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。

關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問(wèn)題值得討論：(1)方程組是否有解，即解的存在性問(wèn)題;(2)方程組如何求解，有多少個(gè)解;(3)方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無(wú)內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

高斯消元法是最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：(1)把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去;(2)交換某兩個(gè)方程的位置;(3)用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。

任意的線性方程組都可以通過(guò)初等變換化為階梯形方程組。由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

對(duì)方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對(duì)位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的位置提取出來(lái)，形成一張表，通過(guò)研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。可以用矩陣的形式來(lái)表示一個(gè)線性方程組，這至少在書(shū)寫(xiě)和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。因此我們可以得到線性方程組的三種表達(dá)形式如下：