長春理工大學(xué)理學(xué)院2015考研加試大綱：數(shù)學(xué)分析

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一、總體要求

考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)、極限和連續(xù)、實(shí)數(shù)的基本理論、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無窮級數(shù)、多元函數(shù)微積分學(xué)的基本概念與基本理論；學(xué)會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明。

二、教材

《數(shù)學(xué)分析》（上、下），歐陽光中等，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編（第三版），高等教育出版社。

三、考試內(nèi)容

（一）函數(shù)、極限和連續(xù)

（1）理解函數(shù)的概念。學(xué)會函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會作出簡單的分段函數(shù)的圖像。理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性，會判斷函數(shù)的類型。理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。掌握基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及圖像。掌握初等函數(shù)的概念。會建立簡單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式

（2）理解極限的概念，能根據(jù)極限的概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右極限，理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。理解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量的階的比較。會運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。熟練掌握用兩個(gè)重要的極限求極限的方法。

（3）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。會求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運(yùn)用介值定理推證一些簡單命題。理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，并會利用連續(xù)性求極限。

（二）實(shí)數(shù)完備性理論的知識

了解實(shí)數(shù)系的構(gòu)造理論。理解實(shí)數(shù)完備性定理的各個(gè)定理：區(qū)間套定理柯西收斂準(zhǔn)則，有限覆蓋定理，聚點(diǎn)定理，確界原理，單調(diào)有界性定理和這些定理的等價(jià)性。理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。了解實(shí)數(shù)完備性定理在證明數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用。

（三）一元函數(shù)微分學(xué)

（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會運(yùn)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。會求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)方法。掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。理解函數(shù)和微分概念，掌握微分法則，掌握微分與可導(dǎo)的關(guān)系，會求一階微分

（2）理解羅爾中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它們的幾何意義，會用它們證明根的存在性和簡單的不等式。熟練掌握用洛必達(dá)法則求“”“”“”“”“”“”型未定式的極限的方法。熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單不等式。理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)的極值和最值的方法，并會解簡單的應(yīng)用問題。會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點(diǎn)。會作簡單函數(shù)的圖形。理解函數(shù)的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)，掌握幾個(gè)基本初等函數(shù)的泰勒公式。

（四）一元函數(shù)積分學(xué)

（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在性定理。熟練掌握不定積分的基本公式。熟練掌握不定積分的第一換元法，掌握第二換元法。熟練掌握不定積分的分部積分法。會求簡單有理函數(shù)的不定積分。

（2）理解定積分的概念及其幾何意義，掌握定積分的積分和、上和、下和的概念，定積分可積的充分條件、必要條件和充要條件。掌握定積分的基本性質(zhì)。掌握變上限定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分的求導(dǎo)方法。掌握牛頓---萊布尼茨公式。掌握定積分的換元積分法和分部積分法。掌握定積分在幾何計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、和物理上計(jì)算壓力、功、重心等簡單應(yīng)用。

（五）無窮級數(shù)

（1）了解數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念，級數(shù)的收斂與發(fā)散，級數(shù)的基本知識，級數(shù)收斂的必要條件。熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)斂散性的比較判別法和比值判別法。了解任意項(xiàng)級數(shù)、交錯(cuò)級數(shù)、絕對收斂、條件收斂的概念。掌握交錯(cuò)級數(shù)收斂的萊布尼茲判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判別法。理解無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分的概念及幾何意義。掌握非負(fù)函數(shù)反常積分收斂性的比較判別法。

（2）了解冪級數(shù)、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的概念。了解冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)（和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分）。掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的的求法。會運(yùn)用基本初等函數(shù)的麥克勞林公式將一些簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)。

（六）多元函數(shù)微分學(xué)

了解平面點(diǎn)集，多元函數(shù)的定義，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性概念，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念，可微性的幾何意義與應(yīng)用。熟練掌握一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，掌握復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算。掌握方向?qū)��?shù)，梯度的計(jì)算，了解隱函數(shù)定理，掌握隱函數(shù)及隱函數(shù)組的的微分的計(jì)算。掌握平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線的方程的計(jì)算。了解二元函數(shù)泰勒公式，熟練掌握二元函數(shù)的無條件極值的計(jì)算，掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

（七）多元函數(shù)積分學(xué)

了解二重積分的概念、二重積分的可積條件、一般區(qū)域上的二重積分，熟練掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，掌握二重積分的換元法、含參量積分的導(dǎo)數(shù)。了解三重積分的概念，掌握直角坐標(biāo)下化三重積分為累次積分。了解第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念，掌握第一型曲線積分和第一型曲面積分的計(jì)算，了解第二型曲線積分和第二型曲面積分的概念，掌握第二型曲線積分和第二型曲面積分的計(jì)算。了解格林公式，曲線積分與路徑的無關(guān)性。了解高斯公式，知道斯托克斯公式。