2016北京師范大學專業綜合一考研大綱（專業學位）

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2016年北京師范大學專業學位碩士研究生招生考試大綱

955專業綜合一(高等代數85分，空間解析幾何65分)

2016年碩士研究生招生考試大綱

科目編號955高等代數（分值：85）適用專業：基礎數學、計算數學、概率論與數理統計、應用數學

一、總體要求

1．掌握基本的代數運算方法，包括：行列式的計算，矩陣運算（乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量），線性方程組解的判定及求解，多項式運算（帶余除法，輾轉相除法）.

2.掌握基本的代數分析技巧，包括：向量的線性相關和線性無關性，向量空間的基與維數，線性方程組解的結構,線性變換和矩陣的關系，方陣可相似對角化的判定,對稱矩陣與二次型，多項式的整除性及因式分解.

3.掌握代數的基本幾何背景，理解代數與幾何的關系，包括：歐氏空間與酉空間，正交變換與正交矩陣,酉變換與酉矩陣，對稱變換與對稱矩陣,實對稱矩陣的正交相似對角化，最小二乘解，對偶空間與雙線性函數.

二、考試內容

第一部分多項式

1.數域,一元多項式的定義和基本運算；

2.多項式的帶余除法，多項式整除性理論；

3.多項式的最大公因式，輾轉相除法；

4.不可約多項式，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式；

5.多項式函數與多項式的根；

6.代數基本定理，復數域和實數域上多項式；

7.有理數域和整數環上的多項式，Eisenstein判別法；

8.多元多項式的概念及字典排列法，對稱多項式及其基本定理.

第二部分行列式

1.排列、n階行列式的定義；

2.n階行列式的性質和基本計算；

3.代數余子式、行列式按一行（列）展開；

4.克萊姆法則；

5.Laplace定理.

第三部分線性方程組

1.線性方程組求解的消元法；

2.矩陣的秩，用矩陣的初等變換求秩；

3.線性方程組可解的判別法；

4.兩個多項式的結式和多項式的判別式.

第四部分矩陣

1.矩陣的線性運算、乘法及轉置；

2.矩陣可逆的判定條件及性質，用初等變換求可逆矩陣的逆;

3.矩陣乘積的行列式與秩;

4.矩陣的分塊及其運算技巧.

第五部分向量空間

1.向量空間的定義和例子；

2.向量組的線性相關和線性無關性，向量組的極大無關組；

3.向量空間的基與維數，過渡矩陣及坐標變換公式；

4.子空間、子空間的交與和；

5.向量空間的同構及其性質；

6.矩陣的行秩和列秩，齊次線性方程組的解空間與基礎解系.

第六部分線性變換

1.線性映射和線性變換的定義及例子；

2.線性變換的運算和矩陣的關系；

3.線性變換的不變子空間及其性質；

4.方陣的特征值和特征向量；

5.可以對角化的矩陣；

6.極小多項式與Cayley-Hamilton定理;

7.向量空間的準素分解，矩陣的Jordan標準形；

8.矩陣的有理標準形.

第七部分歐氏空間和酉空間

1.向量的內積和歐氏空間的定義；

2.規范正交基，Schmidt正交化方法；

3.正交變換與正交矩陣；

4.對稱變換與對稱矩陣，實對稱矩陣的正交相似對角化；

5.向量到子空間的距離，最小二乘解；

6.酉空間與酉變換.

第八部分二次型

1.二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關系；

2.復數域上的二次型及其典范形；

3.實數域上的二次型，慣性定律；

4.正定二次型與正定矩陣，實對稱矩陣正定的判定條件.

第九部分雙線性函數