2016華南理工大學(xué)微分方程與復(fù)變函數(shù)考研大綱

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945微分方程與復(fù)變函數(shù)考試大綱

附件：碩士生入學(xué)考試學(xué)校自命題科目復(fù)試大綱

（常微分方程）復(fù)試大綱

一、考試目的

《常微分方程》是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生入學(xué)復(fù)試的專業(yè)課程，其目的是測(cè)試考生對(duì)該課程的掌握情況。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測(cè)試考生綜合運(yùn)用常微分方程知識(shí)點(diǎn)的水平考試。考試的范圍包括常微分方程的基本概念、基本解法、基本技巧和基本理論。考察學(xué)生對(duì)要求掌握的知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

二、考試基本要求

掌握常微分方程的基本解法、基本技巧及基本理論。

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內(nèi)容（或知識(shí)點(diǎn)）

1．一階方程的初等解法

1）變量分離方程的解法2）線性方程的解法3）恰當(dāng)方程4）積分因子5）一階隱式方程的解法。

2．一階方程的解的存在定理

1）存在唯一定理的條件與結(jié)論2）證明方法與步驟3）解的延拓4）奇解。

3．高階方程

1）線性方程的一般理論2）常系數(shù)方程的解法3）高階方程的降階

4．線性方程組

1）線性方程組的一般理論2）常系數(shù)線性方程組的解法

5．定理理論初步

1）平面常系數(shù)線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型2）平面非線性系統(tǒng)的線性近似3）極限環(huán)

六、考試題型

求方程的解，畫奇點(diǎn)附近的相圖，證明題。

七、參考書目：本科通用教材

碩士生入學(xué)考試學(xué)校自命題科目考試大綱模板

（945+復(fù)變函數(shù)）考試大綱

一、考試目的：

《復(fù)變函數(shù)》作為全日制數(shù)學(xué)碩士專業(yè)學(xué)位入學(xué)考試，其目的是考察考生是否具備進(jìn)行數(shù)學(xué)碩士專業(yè)學(xué)習(xí)所要求的數(shù)學(xué)水平。

二、考試性質(zhì)與范圍：

本考試是一種測(cè)試應(yīng)試者復(fù)變函數(shù)知識(shí)和應(yīng)用能力的尺度參照性水平考試。考試范圍包括復(fù)變函數(shù)的一些基本概念、基
本理論、基本方法，以及應(yīng)用這些概念與方法解決實(shí)際問題的基本技能。

三、考試基本要求

1.掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論，主要內(nèi)容是：復(fù)數(shù)、解析函數(shù)、單復(fù)變函數(shù)的微分、積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)和共形映射。

2.掌握復(fù)變函數(shù)的基本運(yùn)算，如求復(fù)積分，解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開，奇點(diǎn)的判定，留數(shù)定理的應(yīng)用，簡(jiǎn)單區(qū)域共形映射的作法等。

四、考試形式

本考試采取閉卷筆試的方法。主要題型為解答題。

五、考試內(nèi)容：

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

掌握并熟悉復(fù)平面的基礎(chǔ)知識(shí)和復(fù)函數(shù)的概念，掌握區(qū)域和復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運(yùn)算，了解復(fù)球面的建立與球極投影，和復(fù)變函數(shù)的定義與二元實(shí)函數(shù)的關(guān)系。

考核要求：

1、復(fù)數(shù):復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算、表示法和三角不等式;2、復(fù)平面上點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念;區(qū)域、約當(dāng)曲線;3、復(fù)變函數(shù):復(fù)極限、復(fù)連續(xù);4、復(fù)球面和無窮遠(yuǎn)點(diǎn):無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

第二章解析函數(shù)

理解復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的概念，弄清這兩個(gè)概念之間的關(guān)系。熟練掌握解析函數(shù)的C－R條件，能運(yùn)用C－R條件判定函數(shù)的解析性。熟練掌握和運(yùn)用解析函數(shù)的求導(dǎo)與求導(dǎo)公式。熟練掌握指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的定義和基本性質(zhì)以及簡(jiǎn)單映射性質(zhì)。并會(huì)運(yùn)用歐拉公式和復(fù)數(shù)的指數(shù)表示。

考核要求：

1、解析函數(shù)的概念與C－R條件

1.1復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析;1.2解析函數(shù)的C－R條件

2、初等解析函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)

3、初等多值函數(shù)：各初等多值函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

掌握復(fù)變函數(shù)沿一條逐段光滑曲線積分的定義，基本性質(zhì)和計(jì)算方法。熟練掌握柯西積分定理并能證明。理解解析函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)的不定積分概念。熟練掌握和運(yùn)用柯西積公式與高階導(dǎo)數(shù)公式。掌握柯西不等式、劉維爾定理、最大模原理，莫勒拉定理。

考核要求：

1、復(fù)積分的概念性質(zhì);2、Cauchy積分定理;3、Cauchy積分公式及推論;

3.1柯西積公式與高階導(dǎo)數(shù)公式

3.2劉維爾定理（領(lǐng)會(huì)）

4、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

4.1解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

第四章級(jí)數(shù)

理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念，掌握一致收斂性的判別法。掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和求收斂半徑的公式，理解冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的內(nèi)閉一致收斂性與所定義函數(shù)的分析性質(zhì)。記住exp（z）,Ln(1+z),sinz,cosz和(1+z)^a的冪級(jí)數(shù)展開式，并能熟練的運(yùn)用。掌握解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性定理和解析函數(shù)唯一性定理。理解羅郎級(jí)數(shù)的概念，會(huì)求出一些簡(jiǎn)單的羅郎級(jí)數(shù)的展開式及收斂域。掌握解析函數(shù)孤立奇點(diǎn)的三種類型及其特征與性質(zhì)及在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。

考核要求：

1、復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

2、冪級(jí)數(shù)

3、解析函數(shù)的零點(diǎn)，唯一性定理

4.解析函數(shù)的羅朗展式

5解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)

6.解析函數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)

第五章留數(shù)

留數(shù)的定義及計(jì)算方法，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)。留數(shù)定理。利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分。輻角原理，Ruché(儒歇)定理及其應(yīng)用.

考核要求：

1、掌握留數(shù)的定義、留數(shù)定理及留數(shù)的計(jì)算方法

2、了解利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的一般方法，并能計(jì)算常見的三種類型的實(shí)積分

第六章保形映照

理解導(dǎo)數(shù)的模與輻角的幾何意義和保形映射概念。熟練的掌握ez,Inz,zn以及儒可夫斯基函數(shù)的映射性質(zhì)。熟練掌握分式線性映射的基本性質(zhì)。能將一些較簡(jiǎn)單的單連通區(qū)域變換成單位圓或上半平面。了解黎曼映射定理和邊界對(duì)應(yīng)定理。

考核要求：

1、expz、Lnz、z^n以及儒可夫斯基函數(shù)的映射性質(zhì)。

2、掌握分式線性映射的基本性質(zhì)。

3、會(huì)綜合應(yīng)用分式線性函數(shù)、ez、zn及儒可夫斯基函數(shù)作一些較簡(jiǎn)單的單連通區(qū)域間的變換。