2016考研數學：臨考知識點串講

考研數學來源：跨考教育 2015-12-16　

2016考研已進入最后十天的倒計時，可以說考生的水平已基本定型。考生要做的是做模擬題保持熱度，回顧以前的內容以對抗遺忘，不斷總結以查漏補缺。

作為奮戰在教學一線的數學老師，能做些什么以給這個階段的考生些許幫助呢?上網瀏覽，指導考生調整身心狀態或者梳理考點題型的文章并不鮮見。在此，通過數道定積分部分的真題給考生送上幾條溫馨提示。既為提示，僅求拋磚引玉，幫助考生查漏補缺，而不求大而全。考生可以本文檢查自己的復習效果如何，也可按照本文思路以真題串考點。

一、雙扭線

我們看93年數學一這道真題。題目給出雙扭線的直角坐標方程，要求考生寫出用極坐標表示的該曲線圍成區域的面積。考生要答對該題，需掌握以下幾點：1. 能寫出雙扭線的極坐標方程2. 熟悉雙扭線的圖形及常用角度值(從原點出發做雙扭線在第一象限圖像的切線，其與x軸正半軸的夾角為4分之pi)3.能寫出極坐標系下曲邊三角形的面積公式。這些你掌握好了嗎?

二、旋轉體體積

旋轉軸為坐標軸的旋轉體體積問題相對好處理，有公式，空心的形體還可用“大減小”的方法處理。那么旋轉軸不為坐標軸的情況如何處理?答案是微元法。請看92年數二數三這道真題。題目給出兩個抽象函數g(x)< f(x)<m，求g(x)， f(x)，x=a與x=b圍成的平面圖形繞y=m的旋轉體的體積。這個題明顯的特征是旋轉軸不為坐標軸，不能直接套公式，要用微元法處理。若有此思路，這個題就不是難題。若執意套公式或用“大減小”處理，那就較為被動。

三、定積分與變限積分

下面這道真題并不難，但處理它的思路有普遍意義。下面隆重請出07年數一數三這道真題。題目給出f(x)的圖像，是四個直徑在x軸上，且直徑為1或2的半圓周軸連接而成的曲線。而F(x)為f(x)的變上限積分函數，問F(3)，F(2)和F(-2)的數量關系。該題寫出F(3)，F(2)和F(-2)的表達式，結合定積分的幾何意義，不難求解。但這么做有個問題——易錯。考慮F(-2)時，不少考生只注意到f(x)在(-2,0)的圖像位于x軸的下方以及定積分的幾何意義是“曲邊梯形面積的代數和”，而忽略了F(-2)的積分下限大于積分上限這個事實!進而出錯就在所難免了。較為簡潔且不易錯的解法是利用一個結論:函數的奇偶性和它的原函數奇偶性有聯系，若函數為奇函數，則其原函數為偶函數。利用這個結論先對F(-2)化簡，再考慮幾何意義就不易出錯了。

通過該題提醒考生兩點：1.若某題有不止一種解法，建議選不易出錯的解法2.函數與其原函數的性質的關系是數一、二、三需掌握的。