2024考研數(shù)學(xué)一大綱：線性代數(shù)變化解析

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今年的考研數(shù)學(xué)大綱與去年的大綱保持一致。在線性代數(shù)科目中，試題難易程度變動(dòng)雖有區(qū)別但也趨于穩(wěn)定。重點(diǎn)仍是基本概念、基本性質(zhì)和基本方法。下面就線性代數(shù)的基本考情和特點(diǎn)做一個(gè)分析。

考研線性代數(shù)一共包含六章的內(nèi)容：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型�？荚囶}型分為選擇、填空和解答，基本的工具有行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量，可能出選擇填空題的內(nèi)容主要是行列式的計(jì)算、矩陣的秩、相關(guān)無(wú)關(guān)、解的判定、矩陣的特征值特征向量、矩陣的合同與相似、正定二次型的判定。其中去年考到了行列式、秩、向量組的解、線性表出、正負(fù)慣性指數(shù)的內(nèi)容。可能出解答題的內(nèi)容，往年有(1)向量與方程組結(jié)合的題目，比如把判斷相關(guān)無(wú)關(guān)及能否線性表出，轉(zhuǎn)化為齊次或齊次線性方程組有解無(wú)解的問(wèn)題;(2)向量、特征值與特征向量或二次型的題目，這部分題目往往計(jì)算量比較大。

考研線性代數(shù)的特點(diǎn)跟其他科目不同，具體如下：

(1)計(jì)算量比較大。考研線性代數(shù)的大題一般都有兩問(wèn)，像矩陣方程的求解、線性方程組解的通解、相似和相似對(duì)角化、二次型等，這些計(jì)算量都非常大，并且前面錯(cuò)一點(diǎn)后面就全錯(cuò)了。有些雖然只是簡(jiǎn)單的運(yùn)算，但運(yùn)算次數(shù)較多時(shí)，就很容易犯錯(cuò)，這是考試中經(jīng)常失分的一個(gè)重要原因。

(2)公式定理多，概念抽象。考研線性代數(shù)內(nèi)容多，概念多，公式定理多，而且內(nèi)容比較抽象。比如關(guān)于矩陣，就有矩陣相似、矩陣等價(jià)、矩陣合同、正定矩陣、正交矩陣等。再有向量部分，相關(guān)無(wú)關(guān)的性質(zhì)就有7條等。這些瑣碎的知識(shí)點(diǎn)無(wú)形中增加了考生的記憶負(fù)擔(dān)，復(fù)習(xí)中要多次背誦記憶。再有秩的相關(guān)概念，線性代數(shù)中幾乎所有重要的定理都可以通過(guò)秩來(lái)表述，對(duì)秩的理解深度決定了整個(gè)線性代數(shù)的復(fù)習(xí)高度，但對(duì)于具體的矩陣求秩，可以通過(guò)初等行變換化階梯型，根據(jù)階梯型中非零行的個(gè)數(shù)來(lái)求;對(duì)于抽象型的，可以利用定義來(lái)求，也可以與向量結(jié)合，還可以由向量的相關(guān)性及向量組的秩來(lái)判定;還可以借助矩陣(方陣)非零特征值個(gè)數(shù)等方法來(lái)判定。所以學(xué)習(xí)秩，我們不僅要掌握本身的概念，也要把握好與其他知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，就對(duì)學(xué)生的能力提出了更高的要求。

(3)靈活度高。考研線性代數(shù)經(jīng)常稍加改變條件就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)解題方法全部發(fā)生變化，所以出題非常靈活多變。比如計(jì)算或討論兩個(gè)線性方程組公共解的問(wèn)題，①如果兩個(gè)線性方程組都是已知的，則將這兩個(gè)線性方程組聯(lián)立求解;②如果兩個(gè)線性方程組其中一個(gè)已知，另一個(gè)線性方程組的通解是已知的，則可以將后一個(gè)線性方程組的通解直接代入前一個(gè)線性方程組，求出使得通解滿足另一個(gè)線性方程組的條件;③如果兩個(gè)線性方程組都只知道通解，則可以令兩邊的通解相等，求出使得兩邊通解相等時(shí)的條件。

(4)綜合性強(qiáng)，考研線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系是非常緊密的，因此很容易出綜合性大題，經(jīng)常一道題考幾個(gè)章節(jié)的內(nèi)容。比如2021數(shù)學(xué)一線性代數(shù)的解答題，就綜合了特征值特征向量、正交相似對(duì)角化、矩陣乘法運(yùn)算及正定矩陣的相關(guān)內(nèi)容;

(5)推理證明

考研線性代數(shù)還會(huì)考察學(xué)生的邏輯推理能力，比如證明相關(guān)無(wú)關(guān)，但很多考生這方面的能力欠缺，不知道如何處理應(yīng)用題和證明題，往往失分較多�？忌�要有意識(shí)得鍛煉自己，總結(jié)證明題的出題規(guī)律，總結(jié)解題思路和解題方法，避免在考試中失分。

針對(duì)線性代數(shù)的考試特點(diǎn)，考生在備考時(shí)要注意一下幾點(diǎn)：

(1)抓主線

線性代數(shù)內(nèi)容看似雜亂，但實(shí)際“形散而神不散”。要想學(xué)好線性代數(shù)，一定要抓住主線——線性方程組，把各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容串起來(lái)。

(2)重基礎(chǔ)

考研線性代數(shù)試題對(duì)基本概念、基本性質(zhì)和基本方法都有考查。對(duì)于基本概念，要區(qū)分哪些了解即可，比如矩陣、向量的定義等，哪些會(huì)直接考查，比如基礎(chǔ)解系、相關(guān)無(wú)關(guān)、矩陣相似、合同、二次型等。有些基本知識(shí)點(diǎn)是考生容易忽略的，像矩陣相似、矩陣等價(jià)及矩陣合同的判斷，往往會(huì)忽略本身的定義，混淆概念。對(duì)于基本性質(zhì)，要準(zhǔn)確記憶，注意區(qū)分行列式的運(yùn)算性質(zhì)與矩陣運(yùn)算性質(zhì)的不同，有無(wú)正負(fù)號(hào)等問(wèn)題。對(duì)于基本方法要有整體的認(rèn)識(shí)，比如數(shù)值型和抽象型行列式計(jì)算方法，齊次非齊次線性方程組的求解等問(wèn)題，要掌握基本求解方法，再加上一定的訓(xùn)練，就能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定得分。

(3)勤加練習(xí)，重視計(jì)算

線性代數(shù)選擇填空題一道題5分，分值增加，計(jì)算量也會(huì)適當(dāng)加大，但總體難度不大，主要是把握好解題思路。在解答題中，計(jì)算量往往非常繁瑣，一個(gè)是知識(shí)點(diǎn)綜合性比較強(qiáng)，一個(gè)是計(jì)算步驟多，所以同學(xué)們要認(rèn)真對(duì)待，在做題中訓(xùn)練自己的靈活解題能力和計(jì)算能力。

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