2024考研數學一大綱：線性代數變化解析

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今年的考研數學大綱與去年的大綱保持一致。在線性代數科目中，試題難易程度變動雖有區別但也趨于穩定。重點仍是基本概念、基本性質和基本方法。下面就線性代數的基本考情和特點做一個分析。

考研線性代數一共包含六章的內容：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。考試題型分為選擇、填空和解答，基本的工具有行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量，可能出選擇填空題的內容主要是行列式的計算、矩陣的秩、相關無關、解的判定、矩陣的特征值特征向量、矩陣的合同與相似、正定二次型的判定。其中去年考到了行列式、秩、向量組的解、線性表出、正負慣性指數的內容。可能出解答題的內容，往年有(1)向量與方程組結合的題目，比如把判斷相關無關及能否線性表出，轉化為齊次或齊次線性方程組有解無解的問題;(2)向量、特征值與特征向量或二次型的題目，這部分題目往往計算量比較大。

考研線性代數的特點跟其他科目不同，具體如下：

(1)計算量比較大。考研線性代數的大題一般都有兩問，像矩陣方程的求解、線性方程組解的通解、相似和相似對角化、二次型等，這些計算量都非常大，并且前面錯一點后面就全錯了。有些雖然只是簡單的運算，但運算次數較多時，就很容易犯錯，這是考試中經常失分的一個重要原因。

(2)公式定理多，概念抽象。考研線性代數內容多，概念多，公式定理多，而且內容比較抽象。比如關于矩陣，就有矩陣相似、矩陣等價、矩陣合同、正定矩陣、正交矩陣等。再有向量部分，相關無關的性質就有7條等。這些瑣碎的知識點無形中增加了考生的記憶負擔，復習中要多次背誦記憶。再有秩的相關概念，線性代數中幾乎所有重要的定理都可以通過秩來表述，對秩的理解深度決定了整個線性代數的復習高度，但對于具體的矩陣求秩，可以通過初等行變換化階梯型，根據階梯型中非零行的個數來求;對于抽象型的，可以利用定義來求，也可以與向量結合，還可以由向量的相關性及向量組的秩來判定;還可以借助矩陣(方陣)非零特征值個數等方法來判定。所以學習秩，我們不僅要掌握本身的概念，也要把握好與其他知識點之間的聯系，就對學生的能力提出了更高的要求。

(3)靈活度高。考研線性代數經常稍加改變條件就會導致整個解題方法全部發生變化，所以出題非常靈活多變。比如計算或討論兩個線性方程組公共解的問題，①如果兩個線性方程組都是已知的，則將這兩個線性方程組聯立求解;②如果兩個線性方程組其中一個已知，另一個線性方程組的通解是已知的，則可以將后一個線性方程組的通解直接代入前一個線性方程組，求出使得通解滿足另一個線性方程組的條件;③如果兩個線性方程組都只知道通解，則可以令兩邊的通解相等，求出使得兩邊通解相等時的條件。

(4)綜合性強，考研線性代數的知識點之間聯系是非常緊密的，因此很容易出綜合性大題，經常一道題考幾個章節的內容。比如2021數學一線性代數的解答題，就綜合了特征值特征向量、正交相似對角化、矩陣乘法運算及正定矩陣的相關內容;

(5)推理證明

考研線性代數還會考察學生的邏輯推理能力，比如證明相關無關，但很多考生這方面的能力欠缺，不知道如何處理應用題和證明題，往往失分較多。考生要有意識得鍛煉自己，總結證明題的出題規律，總結解題思路和解題方法，避免在考試中失分。

針對線性代數的考試特點，考生在備考時要注意一下幾點：

(1)抓主線

線性代數內容看似雜亂，但實際“形散而神不散”。要想學好線性代數，一定要抓住主線——線性方程組，把各個章節的內容串起來。

(2)重基礎

考研線性代數試題對基本概念、基本性質和基本方法都有考查。對于基本概念，要區分哪些了解即可，比如矩陣、向量的定義等，哪些會直接考查，比如基礎解系、相關無關、矩陣相似、合同、二次型等。有些基本知識點是考生容易忽略的，像矩陣相似、矩陣等價及矩陣合同的判斷，往往會忽略本身的定義，混淆概念。對于基本性質，要準確記憶，注意區分行列式的運算性質與矩陣運算性質的不同，有無正負號等問題。對于基本方法要有整體的認識，比如數值型和抽象型行列式計算方法，齊次非齊次線性方程組的求解等問題，要掌握基本求解方法，再加上一定的訓練，就能實現穩定得分。

(3)勤加練習，重視計算

線性代數選擇填空題一道題5分，分值增加，計算量也會適當加大，但總體難度不大，主要是把握好解題思路。在解答題中，計算量往往非常繁瑣，一個是知識點綜合性比較強，一個是計算步驟多，所以同學們要認真對待，在做題中訓練自己的靈活解題能力和計算能力。

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