2022數(shù)學(xué)一考研大綱：線性代數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型

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2022年考研數(shù)學(xué)大綱已發(fā)布，和2021年的大綱差別不大，線性代數(shù)科目的考查重點(diǎn)和復(fù)習(xí)重點(diǎn)基本不變，但是2022年為考研偶數(shù)年，在難度上可能會(huì)較去年有所增加。為了幫助各位考生能有效的復(fù)習(xí)線性代數(shù)，下面將對(duì)考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型進(jìn)行分析，希望能給在復(fù)習(xí)過(guò)程中迷茫的你或遇到瓶頸的你帶來(lái)一些幫助。

考研數(shù)學(xué)的命題靈活性非常大，就同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)而已，考查難度有時(shí)就差別千里，而更多的命題是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的疊加，綜合性不言而喻。線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中的地位不容小覷，而相對(duì)高數(shù)而言，整體內(nèi)容不多，題型特點(diǎn)比較突出，主要是計(jì)算題為主，證明題為輔，算是比較好掌握的一門(mén)學(xué)科，因此各位考生想要在考研數(shù)學(xué)中取得較好的成績(jī)，學(xué)好線代勢(shì)在必行。

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)主要分兩個(gè)部分：一是對(duì)工具的掌握，這部分主要為行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量;二是對(duì)理論的運(yùn)用，這部分主要為線性方程組，向量關(guān)系，相似對(duì)角化以及二次型。

線性代數(shù)——工具篇

行列式是整個(gè)線性代數(shù)的基本運(yùn)算工具，在每一模塊都有應(yīng)用，雖然在整張?jiān)嚲碇兴�占比例不是很大，單�?dú)考查較少，但與之相關(guān)的考題每年都有。例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問(wèn)題中都會(huì)涉及到行列式。考生需重點(diǎn)掌握行列式的計(jì)算方法，達(dá)到能熟練計(jì)算各式各類(lèi)的行列式的要求。涉及到行列式的常考題型有數(shù)值型和抽象性兩類(lèi)。其中數(shù)值型中有低階和高階行列式之分，主要考查方式是直接需要考生計(jì)算出結(jié)果，或是結(jié)合題目其他信息利用行列式計(jì)算參數(shù)，這類(lèi)行列式的主要計(jì)算方法是降階法，一般先用行列式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，再按行、按列用展開(kāi)定理將行列式降階。此外，一些特殊的行列式(三角行列式、爪型行列式、對(duì)角線型行列式等等)的計(jì)算方法也應(yīng)掌握。

矩陣是線性代數(shù)的重要運(yùn)算單位，是建立整個(gè)學(xué)科體系的基礎(chǔ)，其概念、運(yùn)算及理論貫穿線性代數(shù)的始終。這部分重要考試要點(diǎn)有逆矩陣及伴隨矩陣，在考試中大題小題均有覆蓋，典型題型有以下幾種：方冪的運(yùn)算、求解矩陣方程、判斷及證明矩陣可逆，與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題、有關(guān)初等變換的命題等。考生需要重點(diǎn)掌握逆矩陣的判定及計(jì)算方法及其在矩陣方程中的應(yīng)用，伴隨矩陣的相關(guān)性質(zhì)，特別是矩陣可逆性不同情況下對(duì)公式的運(yùn)用，以及與秩相關(guān)的公式。

秩和特征值、特征向量都需要考生掌握最為基本的計(jì)算公式，一般會(huì)設(shè)置為大題的第一問(wèn)，或者作為某個(gè)題目解題的突破口。考生需記熟與秩相關(guān)的公式，特征值及特征向量的計(jì)算方法及相關(guān)性質(zhì)。

線性代數(shù)——理論篇

向量組的關(guān)系有線性表示及線性相關(guān)性，其中線性相關(guān)性是考研線性代數(shù)的重點(diǎn)考查內(nèi)容。這部分內(nèi)容較為抽象，綜合性強(qiáng)，其分值占比大，是大題的常用考試要點(diǎn)之一，考頻高。常見(jiàn)題型有：向量組的線性相關(guān)性的判定或證明、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、有關(guān)方程組的命題、與向量空間有關(guān)的命題。考生一定要把控好對(duì)線性相關(guān)性的理解，相關(guān)定理要熟記，特別是要吃透其與方程組之間的關(guān)系，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，還應(yīng)與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個(gè)側(cè)面加強(qiáng)對(duì)線性相關(guān)性的理解。

整個(gè)線性代數(shù)研究的核心便是線性方程組，歷年考題中，頻率較高，幾乎每年都考，而且大題居多，是線性代數(shù)部分考查的重點(diǎn)內(nèi)容。在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中特別要注意齊次與非齊次線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明、含參討論的方法等內(nèi)容的掌握。典型的題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)、兩個(gè)方程組的公共解、同解問(wèn)題、矩陣方程的求解等。

相似對(duì)角化與二次型在考研中有時(shí)會(huì)結(jié)合起來(lái)出大題，是線性代數(shù)的重要理論，這部分內(nèi)容題量多分值大。其中相似對(duì)角化也比較喜歡在小題中出現(xiàn)，主要考查題型為：相似對(duì)角化的判定，間接計(jì)算矩陣的特征值等。而重點(diǎn)題型一般為判定矩陣的相似對(duì)角化、由特征值或特征向量反求A、有關(guān)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的問(wèn)題。由于二次型與它的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣式一一對(duì)應(yīng)的，所以二次型的很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的問(wèn)題，而對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的研究也是特征值與特征向量以及相似對(duì)角化等內(nèi)容，在其學(xué)習(xí)上需以相似對(duì)角化作為基礎(chǔ)，這部分是線性代數(shù)的一個(gè)重難點(diǎn)，重點(diǎn)題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范型、二次型正定性的判別。

由2022年考研數(shù)學(xué)大綱可以看出，線性代數(shù)的考查內(nèi)容不多，但從考試趨勢(shì)來(lái)看，線代科目對(duì)各位考生的要求更高，考試要點(diǎn)會(huì)更為綜合，正是這些綜合性的考題將會(huì)拉開(kāi)了考生之間的成績(jī)差距，若想取得理想分?jǐn)?shù)，各位考生就必須要熟練掌握和靈活運(yùn)用基本的概念以及公式定理。基于此，中公考研數(shù)學(xué)研究院結(jié)合多年的考研輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)以及獨(dú)有的研發(fā)體系，希望能幫助考生有計(jì)劃、有目的及有步驟的完成數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，歡迎加入我們。在此，中公考研教研團(tuán)隊(duì)祝各位考生在考試中取得優(yōu)異的成績(jī)。